Chương II: Mặt Nón, Mặt Trụ, Mặt Cầu – Hình Học Lớp 12
Bài 2: Mặt Cầu
Bài Tập 10 Trang 49 SGK Hình Học Lớp 12
Cho hình chóp S.ABC có bốn đỉnh đều nằm trên một mặt cầu, SA = a, SB = b, SC = c và ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó.
Lời Giải Bài Tập 10 Trang 49 SGK Hình Học 12
Gọi I là tâm cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác S.ABC. Hạ IJ vuông góc (SAB), vì J cách đều 3 điểm S, A, B nên J cũng cách đều 3 điểm S, A, B.
Vì tam giác SAB vuông đỉnh S nên J là trung điểm của AB.
Ta có SJ = \(\)\(SJ ={1 \over 2}AB = {1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2}}\)
Do SC vuông góc (SAB) nên IJ // SC.
Gọi \(H\) là trung điểm \(SC\), ta có \(SH = IJ = {c \over 2}\).
Do vậy, \(IS^2 = IJ^2 + SJ^2 = \frac{(a^2 + b^2 + c^2)}{4}\) và bán kính hình cầu ngoại tiếp S.ABC là:
\(r = IS = \frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\)
Diện tích mặt cầu là:
\(S = 4πr^2 = πa^2 + b^2 + c^2)\) (đvdt)
Thể tích khối cầu là:
\(V = \frac{4}{3}π^3 = \frac{1}{6}π(a^2 + b^2 + c^2)^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{6}π (a^2 + b^2 + c^2)\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\)(đvtt)
Cách giải khác
Công thức tính thể tích mặt cầu bán kính r là: \(V = \frac{4}{3}πr^3\)
Giải:
Gọi I là tâm cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác S.ABC. Hạ IJ vuông góc (SAB), vì I cách đều 3 điểm S, A, B nên J cũng cách đều 3 điểm S, A, B.
Vì tam giác SAB vuông đỉnh S nên J là trung điểm của AB.
Ta có \(SJ = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2}\)
Do SC vuông góc (SAB) nên IJ // SC
Gọi H là trung điểm SC, ta có \(SH = IJ = \frac{c}{2}\)
Do vậy, \(IS^2 = IJ^2 + SJ^2 = \frac{(a^2 + b^2 + c^2)}{4}\) và bán kính hình cầu ngoại tiếp S.ABC là
\(r = IS = \frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2 +c^2}\)
Diện tích mặt cầu là:
\(S = 4πr^2 = π(a^2 + b^2 + c^2)\)
Thể tích khối cầu là:
\(V = \frac{4}{3}πr^3 = \frac{1}{6}π(a^2 + b^2 + c^2)^{\frac{3}{2}}\)
Cách giải khác
* Gọi M là trung điểm của tam giác SAB.
Tam giác SAB là tam giác vuông tại S có SM là đường trung tuyến nên ta có:
\(SM = MA = MB = \frac{AB}{2}\)
⇒ M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB.
* Kẻ Mt ⊥ (SAB), ta có: Mt // SC và Mt là trục đưởng tròn ngoại tiếp tam giác SAB.
Trong mp(Mt, SC), đường trung trực của SC cắt Mt tại điểm I.
Ta có: IS = IC (1)
Và IS = IB = IA (2)
Từ (1) và (2) suy ra: IA = IB = IC = IS
Do đó, I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là:
\(R = IS = \sqrt{IM^2 + SM^2}\)
Trong đó:
\(SM = \frac{AB}{2} = \frac{\sqrt{SA^2 + SB^2}}{2} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}\)
\(IM = SN = \frac{SC}{2} = \frac{c}{2}\)
Vậy \(R = \sqrt{\frac{a^2 + b^2 + c^2}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\)
Trên là bài tập và ời giải bài 10 trang 49 sgk hình học lớp 12. Để xem các bài khác trong chuyên mục, vui lòng xem dưới đây nhé.
Bài Tập Liên Quan:
- Bài Tập 1 Trang 48 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 2 Trang 48 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 3 Trang 48 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 4 Trang 48 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 5 Trang 48 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 6 Trang 49 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 7 Trang 49 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 8 Trang 49 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 9 Trang 49 SGK Hình Học Lớp 12
Trả lời