Chương II: Mặt Nón, Mặt Trụ, Mặt Cầu – Hình Học Lớp 12
Bài 2: Mặt Cầu
Bài Tập 7 Trang 49 SGK Hình Học Lớp 12
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA’ = a, AB = b, AD = c.
a. Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp đó.
b. Tính bán kính của đường tròn là giao tuyến của mặt phẳng (ABCD) với mặt cầu trên.
Lời Giải Bài Tập 7 Trang 49 SGK Hình Học 12
Câu a:
Trong hình hộp chữ nhật, bốn đường chéo AC”, BD’, CA” và DB” căt nhau tại điểm I là trung điểm của mỗi đường.
Vì 4 đường chéo trong hình hộp chữ nhật bằng nhau, nên điểm I cách đề 8 đỉnh của hình hộp chữ nhật. Nó là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình hộp.
Vì AB = b, AD = c, AA’ = a nên bán kính mặt cầu \(\)\(R = \frac{1}{2}.A’C = \frac{1}{2}.\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\).
Câu b:
Giao tuyến của mặt phẳng (ABCD) với mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ là đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD. Nên bán kính của đường trong giao tuyến là:
\(r = {1 \over 2}AC = {1 \over 2}\sqrt {{b^2} + {c^2}} \)
Cách giải khác
Câu a: Gọi O là tâm của hình hộp chữ nhật, ta có: OA = OB = OC = OD = OA’
\(= OB’ = OC’ = OD’ = \frac{AC’}{2}\)
Vì \(AC’ = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\)
Vậy mặt cầu đi qua tám đỉnh cuả hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có tâm O và bán kính
\(R = \frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\)
Câu b: Mặt cầu (O; R) cắt mp(ABCD) theo giao tuyến là đường tròn (C) ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD, bán kính của đường tròn (C) là:
\(r = \frac{AC}{2} = \frac{1}{2}\sqrt{b^2 + c^2}\)
Cách giải khác
Câu a: Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp đó.
Phương pháp giải: Xác định tâm và bán kính của hình hộp dựa vào tính chất các đường chéo của hình hộp thì bằng nhau.
Giải: Trong hình hộp chữ nhật, bốn đường chéo AC’, BD’, CA’ và DB’ cắt nhau tại điểm I là trung điểm của mỗi đường.
Vì 4 đường chéo trong hình hộp chữ nhật bằng nhau, nên điểm I cách đều 8 đỉnh của hình hộp chữ nhật. Nó là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình hộp.
Vì AB = b, AD = c, AA’ = a nên bán kính mặt cầu \(R = \frac{1}{2}A’C\)
ΔA’AC vuông tại A nên theo Pytago ta có: \(A’C^2 = A’A^2 + AC^2\)
ΔABC vuông tại B nên theo Pytago: \(AC^2 = AB^2 + BC^2 = b^2 + c^2\)
Do đó:
\(A’C^2 = A’A^2 + AC^2\)
\(= a^2 + b^2 + c^2\)
\(⇒ A’C = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\)
\(⇒ R = \frac{A’C}{2} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}{2}\)
Câu b: Tính bán kính của đường tròn là giao tuyến của mặt phẳng (ABCD) với mặt cầu trên.
Phương pháp giải: Đường tròn cần tìm là đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD.
Giải: Giao tuyến của mặt phẳng (ABCD) với mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ là đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD. Nên bán kính của đường trong giao tuyến là:
\(r = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}\sqrt{b^2 + c^2}\)
Trên là lời giải cách xác định tâm, bán kính và tính bán kính đường tròn. Hy vọng lời giải bài tập 7 trang 49 sgk sẽ giúp ích cho bạn.
Bài Tập Liên Quan:
- Bài Tập 1 Trang 48 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 2 Trang 48 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 3 Trang 48 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 4 Trang 48 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 5 Trang 48 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 6 Trang 49 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 8 Trang 49 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 9 Trang 49 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 10 Trang 49 SGK Hình Học Lớp 12
Trả lời