Chương V: Đạo Hàm – Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Bài 1: Định Nghĩa Và Ý Nghĩa Của Đạo Hàm
Bài Tập 4 Trang 156 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Chứng minh rằng hàm số \(\)\(f(x) = \begin{cases}(x – 1)^2 \, \, nếu \, \, x ≥ 0\\-x^2 \, \, nếu \, \, x < 0\end{cases}\) không có đạo hàm tại điểm \(x = 0\) nhưng có đạo hàm tại điểm \(x = 2\).
Lời Giải Bài Tập 4 Trang 156 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Sử dụng định nghĩa chứng minh hàm số có đạo hàm tại \(x = x_0\).
Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng (a; b) và \(x_0 ∈ (a; b)\). Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) \(\mathop {\lim}\limits_{x → x_0}\frac{f(x) – f(x_0)}{x – x_0}\) thì tồn tại đạo hàm của hàm số tại \(x_0\).
Ta có:
\(\mathop {\lim}\limits_{x → 0^+}f(x) = \mathop {\lim}\limits_{x → 0^+}(x – 1)^2 = (0 – 1)^2 = 1\)
\(\mathop {\lim}\limits_{x → 0^-}f(x) = \mathop {\lim}\limits_{x → 0^-}(-x^2) = -0^2 = 0\)
\(⇒ \mathop {\lim}\limits_{x → 0^+}f(x) ≠ \mathop {\lim}\limits_{x → 0^-}f(x)\)
Do đó hàm số \(y = f(x)\) gián đoạn tại \(x = 0\).
Vậy hàm số không có đạo hàm tại điểm \(x = 0\) (vi phạm điều kiện cần).
Xét giới hạn:
\(\mathop {\lim}\limits_{x → 2}\frac{f(x) – f(2)}{x – 2} = \mathop {\lim}\limits_{x → 2}\frac{(x – 1)^2 – 1}{x – 2}\)
\(= \mathop {\lim}\limits_{x → 2}\frac{x^2 – 2x}{x – 2} = \mathop {\lim}\limits_{x → 2}\frac{x(x – 2)}{x – 2} = \mathop {\lim}\limits_{x → 2}x = 2\)
Vậy hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm tại \(x = 2\) và \(f'(2) = 2\).
Ta có \(\mathop {\lim}\limits_{x ⇒ 0^+}f(x) = \mathop {\lim}\limits_{x ⇒ 0^+}(x – 1)^2 = 1\) và \(\mathop {\lim}\limits_{x ⇒ 0^-}f(x) = \mathop {\lim}\limits_{x ⇒ 0^-}(-x^2) = 0\).
Vì \(\mathop {\lim}\limits_{x ⇒ 0^+}f(x) ≠ \mathop {\lim}\limits_{x ⇒ 0^-}\) nên hàm số \(y = f(x)\) gián đoạn tại \(x = 0\), do đó hàm số không có đạo hàm tại điểm \(x = 0\).
Ta có \(\mathop {\lim}\limits_{Δx ⇒ 0}\frac{f(2 + Δx) – f(2)}{Δx} = \mathop {\lim}\limits_{Δx ⇒ 0}\frac{(1 + Δx)62 – 1^2}{Δx} = \mathop {\lim}\limits_{Δx ⇒ 0}(2 + Δx) = 2\)
Vậy hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm tại \(x = 2\) và \(f'(2) = 2\).
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 4 Trang 156 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11 Của Bài 1: Định Nghĩa Và Ý Nghĩa Của Đạo Hàm Thuộc Chương V: Đạo Hàm Môn Đại Số Và Giải Tích Lớp 11. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Đại Số Và Giải Tích Lớp 11.
Trả lời