Chương IV: Giới Hạn – Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Bài 2: Giới Hạn Của Hàm Số
Bài Tập 5 Trang 133 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Cho hàm số \(\)\(f(x) = \frac{x + 2}{x^2 – 9}\) có đồ thị như trên hình 53.
a. Quan sát đồ thị và nêu nhận xét về giá trị hàm số đã cho khi \(x → -∞, x → 3^-\) và \(x → -3^+\).
b. Kiểm tra các nhận xét trên bằng cách tính các giới hạn sau:
\(\mathop {\lim}\limits_{x → −∞}f(x)\) với \(f(x)\) được xét trên khoảng \((-∞; -3)\)
\(\mathop {\lim}\limits_{x → 3^-}f(x)\) với \(f(x)\) được xét trên khoảng \((-3; 3)\)
\(\mathop {\lim}\limits_{x → -3^+}\) với \(f(x)\) được xét trên khoảng \((-3; 3)\)
Lời Giải Bài Tập 5 Trang 133 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Cho hàm số \(f(x) = \frac{x + 2}{x^2 – 9}\) có đồ thị như trên hình 53.
Câu a: Quan sát đồ thị và nêu nhận xét về giá trị hàm số đã cho khi \(x → -∞, x → 3^-\) và \(x → -3^+\).
Phương pháp giải: Quan sát đồ thị hàm số.
Giải:
Quan sát đồ thị ta thấy \(x → -∞\) thì \(f(x) → 0\), khi \(x → 3^-\) thì \(f(x) → – ∞\).
Khi \(x → -3^+\) thì \(f(x) → +∞.\)
Câu b: Kiểm tra các nhận xét trên bằng cách tính các giới hạn sau:
\(\mathop {\lim}\limits_{x → −∞}f(x)\) với \(f(x)\) được xét trên khoảng \((-∞; -3)\)
\(\mathop {\lim}\limits_{x → 3^-}f(x)\) với \(f(x)\) được xét trên khoảng \((-3; 3)\)
\(\mathop {\lim}\limits_{x → -3^+}\) với \(f(x)\) được xét trên khoảng \((-3; 3)\)
Phương pháp giải: Tính các giới hạn, sử dụng quy tắc tính giới hạn được học và kết luận.
– \(\mathop {\lim}\limits_{x → −∞}f(x) = \mathop {\lim}\limits_{x → −∞}\frac{x + 2}{x^2 – 9} = \mathop {\lim}\limits_{x → −∞}\frac{x(1 + \frac{2}{x})}{x(x – \frac{9}{x})} = \mathop {\lim}\limits_{x → −∞}\frac{1 + \frac{2}{x}}{x – \frac{9}{x}}\)
Mà \(\mathop {\lim}\limits_{x → −∞}(1 + \frac{2}{x}) = 1\)
và \(\mathop {\lim}\limits_{x → −∞}(x – \frac{9}{x}) = \mathop {\lim}\limits_{x → −∞}[x(1 – \frac{9}{x^2})] = -∞\)
nên \(\mathop {\lim}\limits_{x → −∞}f(x) = 0\)
– \(\mathop {\lim}\limits_{x → 3^-}f(x) = \mathop {\lim}\limits_{x → 3^-}\frac{x + 2}{x^2 – 9}\)
Vì \(\mathop {\lim}\limits_{x → 3^-}(x + 2) = 3 + 2 = 5 > 0\) và \(\mathop {\lim}\limits_{x → 3^-}(x^2 – 9) = 0; x^2 – 9 < 0\) khi \(x < 3\) nên \(\mathop {\lim}\limits_{x → 3^-}f(x) = -∞\)
– \(\mathop {\lim}\limits_{x → (-3)^+}f(x) = \mathop {\lim}\limits_{x → (-3)^+}\frac{x + 2}{x^2 – 9}\)
Vì \(\mathop {\lim}\limits_{x → (-3)^+}(x + 2) = -3 + 2 = -1 < 0\) và \(\mathop {\lim}\limits_{x → (-3)^+}(x^2 – 9) = 0; x^2 – 9 < 0\) khi \(x > -3\).
nên \(\mathop {\lim}\limits_{x → (-3)^+}f(x) = +∞\)
Cách khác:
\(\mathop {\lim}\limits_{x → -∞}f(x) = \mathop {\lim}\limits_{x → -∞}\frac{x + 2}{x^2 – 9} = \mathop {\lim}\limits_{x → -∞}\frac{\frac{1}{x} + \frac{2}{x^2}}{1 – \frac{9}{x^2}} = 0\)
\(\mathop {\lim}\limits_{x → 3^-}f(x) = \mathop {\lim}\limits_{x → 3^-}\frac{x + 2}{x^2 – 9} = \mathop {\lim}\limits_{x → 3^-}\frac{x + 2}{x + 3}.\frac{1}{x – 3} = -∞\)
vì \(\mathop {\lim}\limits_{x → 3^-}\frac{x + 2}{x + 3} = \frac{5}{6} > 0\) và \(\mathop {\lim}\limits_{x → 3^-}\frac{1}{x – 3} = -∞\)
\(\mathop {\lim}\limits_{x → -3^+}f(x) = \mathop {\lim}\limits_{x → -3^+}\frac{x + 2}{x^2 – 9} = \mathop {\lim}\limits_{x → -3^+}\frac{x + 2}{x – 3}.\frac{1}{x + 3} = +∞\)
vì \(\mathop {\lim}\limits_{x → -3^+}\frac{x + 2}{x – 3} = \frac{-1}{-6} = \frac{1}{6} > 0\) và \(\mathop {\lim}\limits_{x → -3^+}\frac{1}{x + 3} = +∞.\)
Câu a: Quan sát đồ thị và nêu nhận xét về giá trị hàm số đã cho khi \(x → -∞, x → 3^-\) và \(x → -3^+\).
Nhìn vào đồ thị ta có bước toán sau:
* Khi \(x → -∞\) thì \(f(x) → 0.\)
* Khi \(x → 3\) thì \(f(x) → -∞.\)
* Khi \(x → – 3^+\) thì \(f(x) → +∞.\)
Câu b: Kiểm tra các nhận xét trên bằng cách tính các giới hạn sau:
\(\mathop {\lim}\limits_{x → −∞}f(x)\) với \(f(x)\) được xét trên khoảng \((-∞; -3)\)
\(\mathop {\lim}\limits_{x → 3^-}f(x)\) với \(f(x)\) được xét trên khoảng \((-3; 3)\)
\(\mathop {\lim}\limits_{x → -3^+}\) với \(f(x)\) được xét trên khoảng \((-3; 3)\)
Ta có kiểm tra bằng cách tính các giới hạn dưới đây
\(\mathop {\lim}\limits_{x → −∞}f(x) = \mathop {\lim}\limits_{x → −∞}\frac{x + 2}{x^2 – 9} = \mathop {\lim}\limits_{x → −∞}\frac{\frac{1}{x} + \frac{2}{x^2}}{1 – \frac{9}{x^2}} = 0\)
\(\mathop {\lim}\limits_{x → -3^+}f(x) = \mathop {\lim}\limits_{x → -3^+}\frac{x + 2}{x^2 – 9} = +∞\)
\(\mathop {\lim}\limits_{x → 3^-}f(x) = \mathop {\lim}\limits_{x → 3^-}\frac{x + 2}{x^2 – 9} = -∞\)
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 5 Trang 133 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11 Của Bài 2: Giới Hạn Của Hàm Số Thuộc Chương IV: Giới Hạn Môn Đại Số Và Giải Tích Lớp 11. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Đại Số Và Giải Tích Lớp 11.
Trả lời