Chương II: Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ Và Ứng Dụng – Hình Học Lớp 10
Bài 2: Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ
Bài Tập 4 Trang 45 SGK Hình Học Lớp 10
Trên mặt phẳng Oxy, cho hai điểm \(\)\(A(1; 3), B(4; 2)\).
a. Tìm tọa độ điểm D nằm trên trục Ox sao cho DA = DB.
b. Tính chu vi tam giác OAB.
c. Chứng tỏ OA vuông góc với AB và từ đó tính diện tích tam giác OAB.
Lời Giải Bài Tập 4 Trang 45 SGK Hình Học Lớp 10
Câu a: Tìm tọa độ điểm D nằm trên trục Ox sao cho DA = DB.
Phương pháp giải:
– Điểm \(D ∈ Ox ⇒ D(x_0; 0)\)
– \(DA = DB ⇔ DA^2 = DB^2\)
Giải:
D nằm trên trục Ox nên tọa độ của D là (x; 0)
Ta có: \(\overrightarrow{DA} = (x_A – x_D; y_A – y_D) = (1 – x; 3)\)
\(\overrightarrow{DB} = (x_B – x_D; y_B – y_D) = (4 – x; 2)\)
\(⇒ DA = \sqrt{(1 – x)^2 + 3^2}, DB = \sqrt{(4 – x)^2 + 2^2}\)
\(⇒ DA = DB\)
\(⇔ DA^2 = DB^2\)
\(⇔ (1 – x)^2 + 3^2 = (4 – x)^2 + 2^2\)
\(⇔ 1 – 2x + x^2 + 9 = 16 – 8x + x^2 + 4\)
\(⇔ 6x = 10\)
\(⇔ x = \frac{5}{3}\)
\(⇒ D(\frac{5}{3}; 0)\)
Câu b: Tính chu vi tam giác OAB.
Phương pháp giải:
– Chu vi tam giác OAB: \(C = OA + OB + AB\)
Giải:
\(\overrightarrow{OA} = (1; 3)\)
\(⇒ OA = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}\)
\(\overrightarrow{OB} = (4; 2)\)
\(⇒ OB = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\)
\(\overrightarrow{AB} = (x_B – x_A; y_B – y_A)\)
\(= (4 – 1; 2 – 3) = (3; -1)\)
\(⇒ AB = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{10}\)
\(⇒ C = OA + AB + OB\)
\(= \sqrt{10} + \sqrt{10} + 2\sqrt{5}\)
\(= 2\sqrt{10} + 2\sqrt{5}\)
Vậy chu vi tam giác là \(2\sqrt{10} + 2\sqrt{5}\)
Câu c: Chứng tỏ OA vuông góc với AB và từ đó tính diện tích tam giác OAB.
Phương pháp giải:
\(OA ⊥ AB ⇔ \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{AB} = 0 ⇒ S_{OAB} = \frac{1}{2}OA.OB\)
Giải:
Ta có: \(\overrightarrow{OA} = (1; 3); \overrightarrow{AB} = (3; -1)\)
\(\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{AB} = 1.3 + 3.(-1) = 0\)
\(⇒ \overrightarrow{OA} ⊥ \overrightarrow{AB}\)
Do đó OA ⊥ AB nên \(\widehat{OAB} = 90^0\) hay tam giác OAB vuông tại A.
\(S_{OAB} = \frac{1}{2}OA.AB = \frac{1}{2}.\sqrt{10}.\sqrt{10} = 5 (đvdt)\)
Câu a: Tìm tọa độ điểm D nằm trên trục Ox sao cho DA = DB.
Giải sử D(a, 0), khi đó
\(DA = \sqrt{(1 – a)^2 + (3 – 0)^2} = \sqrt{a^2 – 2a + 10}\)
\(DB = \sqrt{(4 – a)^2 + (2 – 0)^2} = \sqrt{a^2 – 8a + 20}\)
\(DA = DB ⇔ DA^2 = DB^2 ⇔ a^2 – 2a + 10\)
\(= a^2 – 8a + 20 ⇔ 6a = 10\)
\(⇔ a = \frac{5}{3}\). Vậy \(D(\frac{5}{3}; 0)\)
Câu b: Tính chu vi tam giác OAB.
Ta có: \(OA = \sqrt{(1 – 0)^2 + (3 – 0)^2} = \sqrt{10}\)
\(OB = \sqrt{(4 – 0)^2 + (2 – 0)^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\)
\(AB = \sqrt{(4 – 1)^2 + (2 – 3)^2} = \sqrt{10}\)
Vậy chu vi ΔOAB là: \(\sqrt{10} + 2\sqrt{5} + \sqrt{10} = 2(\sqrt{10} + \sqrt{5}\)
Câu c: Chứng tỏ OA vuông góc với AB và từ đó tính diện tích tam giác OAB.
Ta có: \(\overrightarrow{OA} = (1 – 0; 3 – 0) = (1; 3), \overrightarrow{AB} = (4 – 1; 2 – 3) = (3; – 1)\)
\(⇒ \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{AB} = 1.3 + 3.(-1) = 0 ⇒ \overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{AB} ⇒ ΔOAB\) vuông tại A
Từ đó: \(S_{ΔOAB} = \frac{1}{2}OA.AB = \frac{1}{2}\sqrt{10}.\sqrt{10} = 5 (đvdt)\)
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 4 Trang 45 SGK Hình Học Lớp 10 Của Bài 2: Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ Thuộc Chương II: Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ Và Ứng Dụng Môn Hình Học Lớp 10. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Hình Học Lớp 10.
Trả lời