Ôn Tập Cuối Năm – Hình Học Lớp 12
Ôn Tập Cuối Năm
Bài Tập 3 Trang 99 SGK Hình Học Lớp 12
Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính r. Hình nón có đường tròn đáy (C) và đỉnh I thuộc (S) được gọi là hình nón nội tiếp mặt cầu (S). Gọi h là chiều cao của hình nón đó.
a. Thể tích của khối nón theo r và h.
b. Xác định h để thể tích của hình nón là lớn nhất.
Lời Giải Bài 3 Trang 99 SGK Hình Hoc 12
Câu a: Gọi H là tâm mặt đáy của hình nón, O là tâm mặt sau (S), đường thẳng IH cắt mặt cầu (S) tại điểm K. Khi đó IK là đường kính của mặt cầu (S) và IK = 2r.
Gọi M là một điểm thuộc (C).
Tam giác IMK vuông ở M và có đường cao MH nên:
\(MH^{2} = IH.HK = h(2r – h)\)
Thể tích nón khối nón là:
\(V=\frac{1}{3}\pi MH^{2}.IH=\frac{\pi}{3}.h(2r-h).h = \frac{\pi}{3}h^{2}(2r – h)\)Câu b: Ta có: \(V_{nón}=\frac{1}{3}π h^{2}(2r-h)=\frac{2}{3}π h^{2}(4r-2h)\)
Trong kết quả trên, \(V_{nón}\) cực đại khi \(h^{2}(4r-2h)\) cực đại.
\(h^{2}(4r-2h)=(4r-2h)h.h\)
Tích (4r – 2h)h.h có ba thành phần 4r – 2h, h, h.
Tổng của ba thành phần là 4r – 2h + h + h = 4r là một sống không đổi 4r nên tích có giá trị lớn nhất khi 4r – 2h = h ⇒ \(\frac{4}{3}r\)
Cách giải khác
Câu a:
Gọi H là tâm đường tròn (C), IB là đường kính mặt cầu.
Suy ra: H,O ∈ IB
Lấy A là 1 điểm trên (C).
Ta có tam giác IHA đồng dạng với tam giác IAB.
Suy ra: \(\frac{IH}{IA} = \frac{IA}{IB}⇒ IA^2 = IH.IB = h.2r = 2rh.\)
Mặc khác:
\(\begin{array}{l} I{A^2} = I{H^2} + H{A^2}\\ ⇒ H{A^2} = I{A^2} – I{H^2} = 2rh – {h^2} = h(2r – h). \end{array}\)
Vậy đường tròn (C) có bán kính là: \(R = \sqrt {h(2r – h)}.\)
Thể tích của khối nón là: \(V = \frac{1}{3}π .{R^2}.h = \frac{1}{3}.π .h(2R – h).h = \frac{1}{3}.π (2r – h){h^2}.\)
Câu b:
Xét hàm số \(V_{(h)} = \left( {2r – h} \right).{h^2}\) với 0 < h < 2r.
Ta có:
\(\begin{array}{l} V’_{(h)} = – 3{h^2} + 4rh = h( – 3h + 4r)\\ V’_{(h)} = 0 ⇔ \left[ \begin{array}{l} h = 0 ∉ \left( {0;2r} \right)\\ h = \frac{{4r}}{3} ∈ \left( {0;2r} \right) \end{array} \right. \end{array}\)
Bảng biến thiên:
Vậy thể tích khối nón lớn nhất là \(V=\frac{{32}}{{81}}{r^3}\) khi \(h = \frac{4}{3}r.\)
Xem thêm các bài giải ôn tập cuối năm hình học lớp 12 khác tại đây. Các bài giải mới nhất dành cho các bạn học sinh THPT.
Bài Tập Liên Quan:
- Bài Tập 1 Trang 99 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 2 Trang 99 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 4 Trang 99 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 5 Trang 99 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 6 Trang 100 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 7 Trang 100 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 8 Trang 100 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 9 Trang 100 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 10 Trang 100 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 11 Trang 101 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 12 Trang 101 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 13 Trang 101 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 14 Trang 101 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 15 Trang 101 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 16 Trang 102 SGK Hình Học Lớp 12
Trả lời