Ôn Tập Cuối Năm – Hình Học Lớp 12
Ôn Tập Cuối Năm
Bài Tập 4 Trang 99 SGK Hình Học Lớp 12
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; -1), B(7; -2; 3) và đường thẳng d có phương trình:
\(\begin{cases}x = -1 + 3t\\y = 2 – 2t\\ z = 2 + 2t\end{cases}\)
a. Chứng minh rằng hai đường thẳng d và AB cùng nằm trong một mặt phẳng.
b. Tìm điểm I trên d sao cho AI + BI nhỏ nhất
Lời Giải Bài 4 Trang 99 SGK Hình Hoc 12
Câu a: Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{AB} = (6; -4; 4)\)
Đường thẳng (d) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{ab}\) = (3; -2; 2)
Xét vectơ \(\overrightarrow{n}\) = \(\overrightarrow{AB}\) ^ \(\overrightarrow{a}\)
\(\overrightarrow n = \left( {\left| \matrix{
– 4 \hfill \cr
– 2 \hfill \cr} \right.} \right.\)\(\left. \matrix{
4 \hfill \cr
2 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
4 \hfill \cr
2 \hfill \cr} \right.\)\(\left. \matrix{
6 \hfill \cr
3 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
6 \hfill \cr
3 \hfill \cr} \right.\)\(\left. {\left. \matrix{
– 4 \hfill \cr
– 2 \hfill \cr} \right|} \right)\) = \(( 0; 0; 0)\) \( \Rightarrow \overrightarrow n = \overrightarrow 0 \)
\( \Rightarrow \) Hai đường thẳng \((d)\) và \(AB\) cùng thuộc một mặt phẳng. Ta lại có:
\(\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow a \) và A ∉ (d)
\(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow a \) cùng phương \( \Rightarrow AB\) và \((d)\) song song với nhau.
Câu b: Gọi \(A’\) là điểm đối xứng của điểm \(A\) qua phép đối xứng qua đường thẳng \(d\) thì điểm \(I\) cần tìm là giao điểm của đường thẳng \(A’B\) và đường thẳng \(d\).
Trong câu a) ta chứng minh được \(AB // d\), từ đó suy ra \(I\) chính là giao điểm của đường thẳng \(d\) với mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\).
Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\) thì \(M(4; 0; 1)\).
Phương trình mặt phẳng trung trực của \(AB\):
\(3(x – 4) – 2(y – 0) + 2(z – 1) = 0\) \( \Rightarrow 3x – 2y + 2z – 14 = 0\)
Phương trình tham số của (d): \(\begin{cases}x = -1 + 3t\\y = 2 – 2t\\ z = 2 + 2t\end{cases}\)
Giá trị tham số ứng với giao điểm \(I \)của \((d)\) và mặt phẳng trung trực của \(AB\) là nghiệm của phương trình:
\(3( -1 + 3t) – 2(2 – 2t) + 2(2 + 2t) – 14 = 0\) \( \Rightarrow t = 1\)
Từ đây ta được \(I (2; 0; 4)\)
Cách giải khác
Phương pháp:
Câu a: Để chứng minh hai mặt phẳng cùng nằm trong một mặt phẳng ta chứng minh chúng song song hoặc cắt nhau.
Câu b: Từ câu a ta đã chứng minh được AB và d đồng phẳng.
+ Nếu A và B nằm khác phía với đường thẳng d thì AI+BI nhỏ nhất khi A, B và I thẳng hàng. Khi đó I chính là tọa độ giao điểm của AB và d.
+ Nếu A và B nằm cùng phía với d thì AI+BI nhỏ nhất khi A’, I, B thẳng hàng với A’ là điểm đối xứng của A qua d, như hình vẽ sau:
Câu a:
Ta có: \(\overrightarrow{AB}=(6; -4; 4)\)
Vecto chỉ phương của d là \(\vec{a}_d = (3; -2; 2)\)
Ta có \(AB=2\vec{a}_d\) và \(A\notin d\) nên AB // d.
Vậy AB và d cùng nằm trong một mặt phẳng.
Câu b:
Theo câu a AB song song với đường thẳng d nên điểm a và B nằm cùng một phía so với d.
Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua d, ta có AI + BI = A’I + BI ≥ A’B
A’I + BI ngắn nhất ⇔ A’, I, B thẳng hàng.
Vậy điểm I cần tìm là giao điểm của A’B và d. Gọi M là trung điểm của AB, ta có
M(4; 0; 1) và \(\overline{MI} ⊥ \vec{a}_d ⇔ \overline{MI}. \vec{a}_d = 0\)
Giả sử I(-1 + 3t, 2 – 2t, 2 + 2t)
\(\overline{MI} = (-5 + 3t, 2 – 2t, 1 + 2t)\)
\(\overline{MI}.\vec{a}_d = 0⇔ 3(-5 + 3t) – 2(2 – 2t) + 2(1 + 2t) = 0\)
⇔ 17t -17 = 0 ⇔ t = 1
Vậy I(2; 0; 4).
Trên là lời giải bài 4 trang 99 sgk hình học lớp 12 trong chương ôn tập cuối năm hình học, các bạn có thể tham khảo bài làm khác trong chương bên dưới.
Bài Tập Liên Quan:
- Bài Tập 1 Trang 99 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 2 Trang 99 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 3 Trang 99 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 5 Trang 99 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 6 Trang 100 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 7 Trang 100 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 8 Trang 100 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 9 Trang 100 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 10 Trang 100 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 11 Trang 101 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 12 Trang 101 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 13 Trang 101 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 14 Trang 101 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 15 Trang 101 SGK Hình Học Lớp 12
- Bài Tập 16 Trang 102 SGK Hình Học Lớp 12
Trả lời