Chương I: Khối Đa Diện – Hình Học Lớp 12
Bài 1: Khái Niệm Về Khối Đa Diện
Bài Tập 2 Trang 12 SGK Hình Học Lớp 12
Chứng minh rằng một đa diện mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của một số lẻ mặt thì tổng số các đỉnh của nó phải là một số chẵn. Cho ví du.
Lời Giải Bài Tập 2 Trang 12 SGK Hình Học 12
Giả sử đa diện (H) có các đỉnh là \(A_1,… A_d\), gọi \(m_1,… m_d\) lần lượt là số các mặt của (H) nhận chúng là đỉnh chung, ở đó \(m_1,… m_d\) là những số lẻ.
Như vậy mỗi đỉnh \(A_k\) có \(m_k\) cạnh đi qua.
Ta có: đỉnh \(A_1\) có \(m_1\) cạnh đi qua.
đỉnh \(A_2\) có \(m_2\) cạnh đi qua.
…
đỉnh \(A_d\) có \(m_d\) cạnh đi qua.
Do đó số các cạnh (có thể trùng nhau) của đa diện là \(m_1 + m_2 +… + m_d\).
Tuy nhiên, do mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên số cạnh ở trên được đếm hai lần.
Vậy số cạnh thực tế của (H) bằng
\(c = \frac{1}{2}(m_1 + m_2+… +m_d)\)
Vì c là số nguyên, \(m_1,… m_d\) là những số lẻ nên d phải là số chẵn.
Ví dụ: Hình chóp ngũ giác.
Đỉnh S là đỉnh chung của 5 mặt, tất cả các đỉnh còn lại là đỉnh chung của 3 mặt, hình chóp ngũ giác có 6 đỉnh.
Cách giải khác
Giả sử đa diện của ta là \(\)\((H)\) có các đỉnh là \(A_1, … A_d\) gọi \(m_1, … m_d\) lần lượt là số các mặt của \((H)\) nhận chúng là đỉnh chung. Vậy ta có mỗi đỉnh \(A_k\) có mk cạnh đi qua. Do mỗi cạnh của \((H)\) là cạnh chung của đúng hai mặt nên tổng số các cạnh của \(H\) bằng
\(c = {1 \over 2}({m_1} + {m_2} + … + {m_d})\)
Vì c là số nguyên, \(m_1, … m_d\) là những số lẻ nên d phải là số chẵn. Ví dụ : Số đỉnh của hình chóp ngũ giác bằng sáu.
Cách giải khác
Cho khối đa diện G có các đỉnh là \(B_1, B_2,…, B_n\) và gọi \(M_1, M_2,…, M_n\) lần lượt là số các mặt của H nhận chúng làm đỉnh chung. Tổng số các cạnh của G là:
\(C = \frac{(M_1 + M_2 + … + M_n)}{2}\)
Vì C là số nguyên dương nên:
\(M_1 + M_2 + … + M_n\) là số chẵn.
Đồng thời \(M_1, M_2 , …, M_n\) là n số tự nhiên lẻ nên tổng của chúng là số chẵn khi n chẵn.
Ví dụ: Hình chóp ngũ giác \(B_1B_2B_3B_4B_5B_6\) có: \(B_1\) là đỉnh chung của 5 mặt bên. Mỗi đỉnh \(B_1, B_2, B_3, B_4, B_5, B_6\) là đỉnh chung của ba mặt (hình trên).
Kết thúc bài giải bài tập 2 trang 12 sgk hình học lớp 12 phần bài 1 khái niệm khối đa diện. Hy vọng bài viết sẽ giúp các bạn giải đáp mọi vướn mắt trong quá trình học nhé.
Trả lời