Chương I: Khối Đa Diện – Hình Học Lớp 12
Bài 2: Khối Đa Diện Lồi Và Khối Đa Diện Đều
Bài Tập 3 Trang 18 SGK Hình Học Lớp 12
Chứng minh rằng tâm của các mặt của hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều.
Lời Giải Bài Tập 3 Trang 18 SGK Hình Học 12
Gọi A’, B; C’, D’ lần lượt là trọng tâm của các tam giác đều BCD, ACD, ABD, ABC.
Gọi M là trung diểm BC:
Ta có: \(\frac{MD’}{MA} = \frac{MA’}{MD} = \frac{1}{3}\) (tính chất đường trung tuyến)
⇒ A’D’ // AD (định lý Ta-lét)
và \(A’D’ = \frac{1}{3}AD = \frac{a}{3}\)
Tương tự \(A’B’ = B’C’ = C’A’ = B’D’ = C’D’ = \frac{a}{3}\)
Vậy A’B’C’D’ là tứ diện đều.
Cách giải khác
Cho hình tứ diện đều ABCD, cạnh bằng a. Gọi E, F, I, J lần lượt là tâm của các mặt ABC, ABD, ACD, BCD (H.11).
Vì \(\)\(\frac{ME}{MC} = \frac{MF}{MD} = \frac{1}{3}\)
Suy ra \(EF = \frac{CD}{3} = \frac{a}{b}\)
Tương tự, các cạnh khác của tứ diện EFIJ đều bằng \(\frac{a}{3}\)
Do đó tứ diện EFIJ là một tứ diện đều.
Cách giải khác
Trong hình trên, gọi \(G_1. G_2, G_3, G_4\) lần lượt là tâm của tam giác BCD, ACD, ABD, ABC.
Ta có: \(AG_4\) và \(DG_1\) cùng đi qua trung điểm M của DC nên \(\frac{MG_4}{MA} = \frac{1}{3} ⇒ G_1G_4 // AD\)
Giả sử cạnh của hình tứ diện đều bằng a, ta có:
\(\frac{G_1G_4}{AD} = \frac{MG_1}{MD} = \frac{1}{3} ⇒ G_1G_4 = \frac{1}{3}AD = \frac{a}{3}\)
Tương tự ta có:
\(G_1G_2 = G_2G_3 = G_1G_4 = G_2G_3 = G_3G_4 = G_4G_2 = \frac{a}{3}\)
Tâm của các mặt của tứ diện đều ABCD tạo thành tứ diện \(G_1G_2G_3G_4\) có sáu cạnh đều bằng \(\frac{a}{3}\).
Vậy \(G_1G_2G_3G_4\) là tứ diện đều.
Trên là bài giải bài tập 3 trang 18 sgk hình học 12 trong loạt bài tập baì 2. Nếu có cách giải mới xin vui lòng bình luận ngay bên dưới nhé.
Trả lời