Chương I: Khối Đa Diện – Hình Học Lớp 12
Bài 2: Khối Đa Diện Lồi Và Khối Đa Diện Đều
Bài Tập 2 Trang 18 SGK Hình Học Lớp 12
Cho hình lập phương (H). Gọi (H’) là hình bát diện đều có các đỉnh là tâm các mặt của (H). Tính tỉ số diện tích toàn phần của (H) và (H’).
Lời Giải Bài Tập 2 Trang 18 SGK Hình Học 12
– Diện tích toàn phần của hình bát diện đều bằng 8. diện tích 1 mặt.
Giả sử khối lập phương có cạnh bằng a. Khi đó diện tích toàn phần của nó là: \(S_1 = 6a^2\).
Gọi M là tâm của hình vuông ABCD; Q là tâm hình vuông ADD’A’; P là tâm hình vuông ABB’A; N là tâm hình vuông BCC’B’; E là tâm hình vuông DCC’D’ và F là tâm hình vuông A’B’C’D’.
Xét bát diện đều thu được, khi đó diện tích toàn phần của nó là 8 lần diện tích tam giác đều MQE (hình vẽ).
Xét tam giác ACD’, ta có M, Q lần lượt là trung điểm của AC và AD’ nên MQ là đường trung bình của tam giác ACD’, do đó \(MQ = \frac{1}{2}CD’ = \frac{a\sqrt{2}}{2}\)
Ta có \(S_{MQE} = \frac{1}{2}(\frac{a\sqrt{2}}{2})^2.\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}a^2}{8}\)
Diện tích xung quanh của bát diện đều là: \(S_2 = 8.\frac{\sqrt{3}a^2}{8} = a^2\sqrt{3}\)
Do đó: \(\frac{S_1}{S_2} = \frac{6a^2}{a^2\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}\)
Cách giải khác
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi E, F, G, I, J, K là tâm của các mặt của nó. Khi đó các đỉnh E, F, G, I, J, K tạo thành hình bát diện đều EFGIJK.
Đặt AB = a
Diện tích tam giác đều (EFJ) bằng \(\)\(\frac{\sqrt{3}}{8}a^{2}\)
Suy ra diện tích toàn phần của hình bát diện (H’) bằng \(\sqrt{3}a^{2}\). Diện tích toàn phần của hình lập phương (H) bằng \(6a^{2}\) Do đó tỉ số diện tích toàn phần của (H) và (H’) bằng
\(\frac{6a^{2}}{\sqrt{3}a^{2}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}\)
Cách giải khác
Gọi a là cạnh của hình lập phương \(ABCD.A_1B_1C_1D_1; O_1, O_2\) lần lượt là tâm của ABCD và \(ABB_1A_1\). Khi đó \(O_1O_2\) là đường trung bình của tam giác \(A_1BD\).
Suy ra \(O_1O_2 = \frac{A_1D}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}\)
Từ đó ta có: Đoạn thẳng nối hai tâm của hai mặt có chung một cạnh của hình lập phương thì có độ dài bằng \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\).
Vậy sáu tâm của sáu mặt của hình lập phương tạo thành tám tam giác đều cạnh \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\), mỗi tâm là đỉnh chung của đúng bốn tam giác đều, và tám tam giác đều này là tám mặt của hình tám mặt đều cạnh bằng \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\).
Diện tích toàn phần của hình lập phương là \(S_1 = 6a^2\).
Diện tích toàn phần của hình bát diện đều là:
\(S_2 = 8.\frac{(\frac{a\sqrt{2}}{2})^2.\sqrt{3}}{4} = a^2\sqrt{3} ⇒ \frac{S_1}{S_2} = 2\sqrt{3}\)
Trên là bài giải bài tập 2 trang 18 sgk hình học lớp 12 dành cho các bạn học sinh. Bài giải mang tính tham khảo, nếu có cách giải tốt hơn xin bình luận bên dưới nhé.
Trả lời