Chương II: Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian. Quan Hệ Song Song – Hình Học Lớp 11
Bài 2: Hai Đường Thẳng Chéo Nhau Và Hai Đường Thẳng Song Song
Nội dung Bài 2: Hai Đường Thẳng Chéo Nhau Và Hai Đường Thẳng Song Song thuộc Chương II: Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian. Quan Hệ Song Song môn Hình Học Lớp 11. Tiết học giúp các bạn xác định được vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian và phương pháp giải những dạng toán liên quan với những bài ví dụ minh họa cụ thể giúp các bạn dễ dàng nắm bắt nội dung và phương pháp giải các bài tập trong sách giáo khoa.
Hình 2.26 cho ta thấy hình ảnh của những đường thẳng song song, đường thẳng chéo nhau. Các khái niệm này sẽ được trình bày sau đây.
Câu hỏi 1 bài 2 trang 55 SGK hình học lớp 11: Quan sát các cạnh tường trong lớp học và xem cạnh tường là hình ảnh của đường thắng. Hãy chỉ ra một số cặp đường thẳng không thể cùng thuộc một mặt phẳng.
Giải: Học sinh tự quan sát.
I. Vị Trí Tương Đối Của Hai Đường Thẳng Trong Không Gian
Cho hai đường thẳng a và b trong không gian. Khi đó có thể xảy ra một trong hai trường hợp sau.
Trường hợp 1. Có một mặt phẳng chứa a và b.
Khi đó ta nói a và b đồng phẳng. Theo kết quả của hình học phẳng có ba khả năng sau đây xảy ra (hình 2.27).
i. a và b có điểm chung duy nhất M. Ta nói a và b cắt nhau tại M và kí hiệu là a ∩ b = {M}. Ta còn có thể viết a ∩ b = M.
ii. a và b không có điểm chung. Ta nói a và b song song với nhau và kí hiệu là a // b.
iii. a trùng b, kí hiệu là a ≡ b.
Như vậy, hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung.
Trường hợp 2. Không có mặt phẳng nào chứa a và b.
Khi đó ta nói a và b chéo nhau hay a chéo với b (hình 2.28).
Câu hỏi 2 bài 2 trang 56 SGK hình học lớp 11: Cho tứ diện ABCD, chứng minh hai đường thẳng AB và CD chéo nhau.
Chỉ ra cặp đường thẳng chéo nhau khác của tứ diện này (Hình 2.29).
Giải: Chứng minh hai đường thẳng AB và CD chéo nhau
Giả sử phản chứng, hai đường thẳng AB và CD không chéo nhau, nghĩa là tồn tại một mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng AB và CD.
Khi đó
\(\)\(\begin{cases}AB ⊂ (α)\\CD ⊂ (α)\end{cases} ⇒ \begin{cases}A, B ∈ (α)\\C, D ∈ (α)\end{cases}\)Hay bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng
Điều này mâu thuẫn với giả thiết ABCD là tứ diện.
Vậy AB và CD chéo nhau.
Các cặp đường thẳng chéo nhau khác của tứ diện này: AC và BD, BC và AD.
II. Tính Chất
Dựa vào tiên đề Ơ-clít về đường thẳng song song trong mặt phẳng ta có các tính chất sau đây.
Định lí 1: Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.
Chứng minh: Giả sử ta có điểm M và đường thẳng d không đi qua M. Khi đó điểm M và đường thẳng d xác định một mặt phẳng (α) (Hình 2.30). Trong mặt phẳng (α), theo tiên đề Ơ-clít về đường thẳng song song chỉ có một đường thẳng d’ qua M và song song với d. Trong không gian nếu có một đường thẳng d” đi qua M song song với d thì d” cũng nằm trong mặt phẳng (α). Như vậy trong mặt phẳng (α) có d’, d” là hai đường thẳng cùng đi qua M và song song với d nên d’, d” trùng nhau.
Nhận xét: Hai đường thẳng song song a và b xác định một mặt phẳng, kí hiệu là mp (a, b) hay (a, b) (Hình 2.31).
Câu hỏi 3 bài 2 trang 57 SGK hình học lớp 11: Cho hai mặt phẳng (α) và (β). Một mặt phẳng (γ) cắt (α) và (β) lần lượt theo các giao tuyến a và b. Chứng minh rằng khi a và b cắt nhau tại I thì I là điểm chung của (α) và (β) (Hình 2.32).
Giải:
a và b cắt nhau tại I nên:
I ∈ a ⊂ (a) (vì a là giao tuyến của (α) và (γ))
I ∈ b ⊂ (b) (vì b là giao tuyến của (β) và (γ))
Nên I là điểm chung của (α) và (β).
Định lí 2: (Về giao tuyến của ba mặt phẳng)
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau (hình 2.32 và hình 2.33).
Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó (hình 2.34a, b, c).
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Xác định giao tuyến của các mặt phẳng (SAD) và (SBC).
Giải:
Các mặt phẳng (SAD) và (SBC) có điểm chung S và lần lượt chứa hai đường thẳng song song là AD, BC nên giao tuyến của chúng là đường thẳng d đi qua S và song song với AD, BC (hình 2.35).
Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của BC và BD. (P) là mặt phẳng qua IJ và cắt AC, AD lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng tứ giác IJNM là hình thang. Nếu M là trung điểm của AC thì tứ giác IJNM là hình gì?
Giải:
Ba mặt phẳng (ACD), (BCD), (P) đôi một cắt nhau theo các giao tuyến CD, IJ, MN. Vì IJ // CD (IJ là đường trung bình của tam giác BCD) nên theo định lí 2 ta có IJ // MN. Vậy tứ giác IJNM là hình thang (hình 2.36).
Nếu M là trung điểm của AC thì N là trung điểm của AD. Khi đó tứ giác IJNM có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau nên là hình bình hành.
Trong hình học phẳng nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau. Điều này vẫn đúng trong hình học không gian.
Định lí 3: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thắng thứ ba thì song song với nhau (hình 2.37).
Khi hai đường thẳng a và b cùng song song với đường thẳng c ta kí hiệu a // b // c và gọi là ba đường thẳng song song.
Ví dụ 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R và S lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AC, BD, AB, CD, AD và BC.
Chứng minh rằng các đoạn thẳng MN, PQ, RS đồng quy tại trung điểm của mỗi đoạn.
Giải:
(Xem hình 2.38)
Trong tam giác ACD ta có MR là đường trung bình nên
\(\begin{cases}MR // CD\\MR = \frac{1}{2}CD\end{cases}\) (1)
Tương tự trong tam giác BCD, ta có:
\(\begin{cases}SN // CD\\SN = \frac{1}{2}CD\end{cases}\) (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra \(\begin{cases}MR // SN\\MR = SN\end{cases}\)
Do đó tứ giác MRNS là hình bình hành. Như vậy MN, RS cắt nhau tại trung điểm G của mỗi đoạn.
Lí luận tương tự, ta có tứ giác PRQS cũng là hình bình hành nên PQ, RS cắt nhau tại trung điểm G của mỗi đoạn. Vậy PQ, RS, MN đồng quy tại trung điểm của mỗi đoạn.
Bài Tập Bài 2: Hai Đường Thẳng Chéo Nhau Và Hai Đường Thẳng Song Song
Hướng dẫn giải bài tập SGK Bài 2: Hai Đường Thẳng Chéo Nhau Và Hai Đường Thẳng Song Song thuộc Chương II: Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian. Quan Hệ Song Song môn Hình Học Lớp 11. Bài giải có phương pháp giải, cách giải khác nhau để các bạn tham khảo.
Bài Tập 1 Trang 59 SGK Hình Học Lớp 11
Cho tứ diện ABCD. Gọi P, Q, R và S là bốn điểm lần lượt lấy trên bốn cạnh AB, BC, CD và DA. Chứng minh rằng nếu bốn điểm P,Q, R và S đồng phẳng thì
a. Ba đường thẳng PQ, SR và AC hoặc song song hoặc đồng quy;
b. Ba đường thẳng PS, RQ và BD hoặc song song hoặc đồng quy.
Bài Tập 2 Trang 59 SGK Hình Học Lớp 11
Cho tứ diện ABCD và ba điểm P, Q, R lần lượt lấy trên ba cạnh AB, CD, BC. Tìm giao điểm S của AD và mặt phẳng (PQR) trong hai trường hợp sau đây.
a. PR song song với AC;
b. PR cắt AC.
Bài Tập 3 Trang 60 SGK Hình Học Lớp 11
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD và G là trung điểm của đoạn MN.
a. Tìm giao điểm A’ của đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD).
b. Qua M kẻ đường thẳng Mx song song với AA’ và Mx cắt (BCD) tại M. Chứng minh B, M’, A’ thẳng hàng và BM’ = M’A’ = A’N.
c. Chứng minh GA = 3GA’.
Lời Kết
Nội dung bài học các em cần nắm các ý chính sau đây:
– Xác định được vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian
– Nắm được các định lý và các tính chất
Ở trên là nội dung Bài 2: Hai Đường Thẳng Chéo Nhau Và Hai Đường Thẳng Song Song thuộc Chương II: Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian. Quan Hệ Song Song môn Hình Học Lớp 11. Bài học giúp các bạn xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian. Chúc các bạn học tốt Hình Học Lớp 11.
Bài Tập Liên Quan:
- Câu Hỏi Trắc Nghiệm Chương II: Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian. Quan Hệ Song Song
- Bài Tập Ôn Tập Chương II: Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian. Quan Hệ Song Song
- Câu Hỏi Ôn Tập Chương II: Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian. Quan Hệ Song Song
- Bài 5: Phép Chiếu Song Song. Hình Biểu Diễn Của Một Hình Không Gian
- Bài 4: Hai Mặt Phẳng Song Song
- Bài 3: Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Song Song
- Bài 1: Đại Cương Về Đường Thẳng Và Mặt Phẳng
Trả lời