Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số – Giải Tích Lớp 12
Bài 4: Đường Tiệm Cận
Bài Tập 1 Trang 30 SGK Giải Tích Lớp 12
Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số:
a. \(\)\(y = \frac{x}{2 – x}\)
b. \(y = \frac{-x + 7}{x + 1}\)
c. \(y = \frac{2x – 5}{5x – 2}\)
d. \(y = \frac{7}{x} – 1\)
Lời Giải Bài Tập 1 Trang 30 SGK Giải Tích Lớp 12
Câu a: \(y = \frac{x}{2 – x}\)
Phương pháp giải:
– Tính \(lim f(x)\) khi \(x → ±∞\). Nếu ít nhất \(\mathop {\lim}\limits_{x → +∞}f(x) = y_0\) hoặc \(\mathop {\lim}\limits_{x → -∞}f(x) = y_0\) thì ta kết luận \(y = y_0\) là đường tiệm cận ngang.
– Tính lim \(f(x)\) khi \(x → x_0^+; x → x_0^-\) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
\(\mathop {\lim}\limits_{x → x_0^+}f(x) = +∞; \mathop {\lim}\limits_{x → x_0^-}f(x) = -∞;\)
\(\mathop {\lim}\limits_{x → x_0^+}f(x) = -∞; \mathop {\lim}\limits_{x → x_0^-}f(x) = +∞;\)
Kết luận: Đường thẳng \(x = x_0\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f(x)\).
Giải:
Ta có: \(\mathop {\lim}\limits_{x → 2^-}\frac{x}{2 – x} = +∞; \mathop {\lim}\limits_{x → 2^+}\frac{x}{2 – x} = -∞\) nên đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Ta có: \(\mathop {\lim}\limits_{x → +∞}\frac{x}{2 – x} = -1; \mathop {\lim}\limits_{x → -∞}\frac{x}{2 – x} = -1\) nên đường thẳng y = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Câu b: \(y = \frac{-x + 7}{x + 1}\)
Ta có: \(\mathop {\lim}\limits_{x → (-1)^+}\frac{-x + 7}{x + 1} = ∞; \mathop {\lim}\limits_{x → (-1)^-}\frac{-x + 7}{x + 1} = -∞\) nên x = -1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Ta có: \(\mathop {\lim}\limits_{x → +∞}\frac{-x + 7}{x + 1} = -1; \mathop {\lim}\limits_{x → -∞}\frac{-x + 7}{x + 1} = -1\) nên đường thẳng y = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Câu c: \(y = \frac{2x – 5}{5x – 2}\)
Ta có: \(\mathop {\lim}\limits_{x → (\frac{2}{5})^+}\frac{2x – 5}{5x – 2} = -∞; \mathop {\lim}\limits_{x → (\frac{2}{5})^-}\frac{2x – 5}{5x – 2} = +∞\) nên đường thẳng \(x = \frac{2}{5}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Ta có: \(\mathop {\lim}\limits_{x → -∞}\frac{2x – 5}{5x – 2} = \frac{2}{5}; \mathop {\lim}\limits_{x → +∞}\frac{2x – 5}{5x – 2} = \frac{2}{5}\) nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(y = \frac{2}{5}\) làm tiệm cận ngang.
Câu d: \(y = \frac{7}{x} – 1\)
Ta có: \(\mathop {\lim}\limits_{x → 0^+}(\frac{7}{x} – 1) = +∞; \mathop {\lim}\limits_{x → 0^-}(\frac{7}{x} – 1) = -∞\) nên đường thẳng x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Ta có: \(\mathop {\lim}\limits_{x → -∞}(\frac{7}{x} – 1) = -1; \mathop {\lim}\limits_{x → +∞}(\frac{7}{x} – 1) = -1\) nên đường thẳng y = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Để bắt đầu giải bài tập 1 này, các em cần phải ôn lại một tý kiến thức lý thuyết về sự tồn tại tiệm cần đừng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nhé:
Đường thẳng y = b được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu thỏa mản một trong các điệu kiện sau:
- \(\mathop {\lim}\limits_{x → -∞}f(x) = b\)
- \(\mathop {\lim}\limits_{x → +∞}f(x) = b\)
Đường thẳng x = a được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu thỏa mản một trong các điệu kiện sau:
- \(\mathop {\lim}\limits_{x → a^+}f(x) = ±∞\)
- \(\mathop {\lim}\limits_{x → a^-}f(x) = ±∞\)
Đối với hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất \(y = \frac{ax + b}{cx + d} (c ≠ 0; ad – bc ≠ 0)\) từ đó ta có thể nhận ra ngay tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = \frac{a}{c}\), tiệm cận đừng là đường thẳng \(x = -\frac{d}{c}\).
Câu a: \(y = \frac{x}{2 – x}\)
Ta có: \(\mathop {\lim}\limits_{x → 2^-}\frac{x}{2 – x} = +∞; \mathop {\lim}\limits_{x → 2^+}\frac{x}{2 – x} = -∞\) nên đường thẳng \(x = 2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Ta có: \(\mathop {\lim}\limits_{x → +∞}\frac{x}{2 – x} = -1; \mathop {\lim}\limits_{x → -∞}\frac{x}{2 – x} = -1\) nên đường thẳng \(y = -1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Câu b: \(y = \frac{-x + 7}{x + 1}\)
Ta có: \(\mathop {\lim}\limits_{x → (-1)^+}\frac{-x + 7}{x + 1} = +∞; \mathop {\lim}\limits_{x → (-1)^-}\frac{-x + 7}{x + 1} = -∞\) nên x = -1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Ta có: \(\mathop {\lim}\limits_{x → +∞}\frac{-x + 7}{x + 1} = -1; \mathop {\lim}\limits_{x → -∞}\frac{-x + 7}{x + 1} = -1\) nên đường thẳng y = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Câu c: \(y = \frac{2x – 5}{5x – 2}\)
Ta có: \(\mathop {\lim}\limits_{x → (\frac{2}{5})^+}\frac{2x – 5}{5x – 2} = -∞; \mathop {\lim}\limits_{x → (\frac{2}{5})^-}\frac{2x – 5}{5x – 2} = ∞\) nên đường thẳng \(x = \frac{2}{5}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Ta có: \(\mathop {\lim}\limits_{x → -∞}\frac{2x – 5}{5x – 2} = \frac{2}{5}; \mathop {\lim}\limits_{x → +∞}\frac{2x – 5}{5x – 2} = \frac{2}{5}\) nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(y = \frac{2}{5}\) làm tiệm cận ngang.
Câu d: \(y = \frac{7}{x} – 1\)
Ta có: \(\mathop {\lim}\limits_{x → -∞}(\frac{7}{x} – 1) = -1; \mathop {\lim}\limits_{x → +∞}(\frac{7}{1} – 1) = -1\) nên đường thẳng y = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Ta có: \(\mathop {\lim}\limits_{x → 0^+}(\frac{7}{x} – 1) = ∞; \mathop {\lim}\limits_{x → 0^-}(\frac{7}{x} – 1) = -∞\) nên đường thẳng x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 1 Trang 30 SGK Giải Tích Lớp 12 Của Bài 4: Đường Tiệm Cận Thuộc Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số Môn Giải Tích Lớp 12. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Giải Tích Lớp 12.
Trả lời