Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số – Giải Tích Lớp 12
Bài 4: Đường Tiệm Cận
Bài Tập 2 Trang 30 SGK Giải Tích Lớp 12
Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số:
a. \(\)\(y = \frac{2 – x}{9 – x^2}\)
b. \(y = \frac{x^2 + x + 1}{3 – 2x – 5x^2}\)
c. \(y = \frac{x^2 – 3x + 2}{x + 1}\)
d. \(y = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} – 1}\)
Lời Giải Bài Tập 2 Trang 30 SGK Giải Tích Lớp 12
Câu a: \(y = \frac{2 – x}{9 – x^2}\)
Phương pháp giải:
– Tìm tiệm cận ngang:
+ Tính \(\mathop {\lim}\limits_{x → +∞}f(x); \mathop {\lim}\limits_{x → -∞}f(x)\)
+ Nếu \(\mathop {\lim}\limits_{x → +∞}f(x) = y_0\) hoặc \(\mathop {\lim}\limits_{x → -∞}f(x) = y_0\), ta kết luận: \(y = y_0\) là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f(x)\).
– Tìm tiệm cận đứng:
+ Tìm tập xác định
+ Tính lim f(x) khi \(x → x_0^+\) và \(x → x+0^-\) với \(x_0\) là giá trị làm hàm số không xác định.
Nếu \(\mathop {\lim}\limits_{x → x_0^+}f(x) = +∞; \mathop {\lim}\limits_{x → x_0^-}f(x) = -∞\)
Nếu \(\mathop {\lim}\limits_{x → x_0^+}f(x) = -∞; \mathop {\lim}\limits_{x → x_0^-}f(x) = +∞\)
Ta kết luận: Đường thẳng \(x = x_0\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f(x)\).
Giải:
Tập xác định: D = R\{±3}
\(\mathop {\lim}\limits_{x → (-3)^+}\frac{2 – x}{9 – x^2} = +∞\) nên đường thẳng x = -3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
\(\mathop {\lim}\limits_{x → 3^+}\frac{2 – x}{9 – x^2} = +∞\) nên đường thẳng x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
\(\mathop {\lim}\limits_{x → +∞}\frac{2 – x}{9 – x^2} = 0\) nên đường thẳng: y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Câu b: \(y = \frac{x^2 + x + 1}{3 – 2x – 5x^2}\)
Tập xác định: D = R \ {\(-1; \frac{3}{5}\)}
\(\mathop {\lim}\limits_{x → (-1)^+}\frac{x^2 + x + 1}{3 – 2x – 5x^2} = +∞\)
\(\mathop {\lim}\limits_{x → (-1)^-}\frac{x^2 + x + 1}{3 – 2x – 5x^2} = -∞\)
\(\mathop {\lim}\limits_{x → (\frac{3}{5})^+}\frac{x^2 + x + 1}{3 – 2x – 5x^2} = -∞\)
\(\mathop {\lim}\limits_{x → (\frac{3}{5})^-}\frac{x^2 + x + 1}{3 – 2x – 5x^2} = +∞\)
Nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng: \(x = -1; x = \frac{3}{5}\)
Vì: \(\mathop {\lim}\limits_{x → -∞}\frac{x^2 + x + 1}{3 – 2x – 5x^2} = -\frac{1}{5}\)
\(\mathop {\lim}\limits_{x → +∞}\frac{x^2 + x + 1}{3 – 2x – 5x^2} = -\frac{1}{5}\)
Nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = -\frac{1}{5}\)
Câu c: \(y = \frac{x^2 – 3x + 2}{x + 1}\)
Tập xác định: D = R\{-1}
\(\mathop {\lim}\limits_{x → (-1)^-}\frac{x^2 – 3x + 2}{x + 1} = -∞; \mathop {\lim}\limits_{x → (-1)^+}\frac{x^2 – 3x + 2}{x + 1} = +∞\) nên đường thẳng x = -1 là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
\(\mathop {\lim}\limits_{x → -∞}\frac{x^2 – 3x + 2}{x + 1} = \mathop {\lim}\limits_{x → -∞}\frac{x^2(1 – \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2})}{x(1 + \frac{1}{x})} = -∞\) và \(\mathop {\lim}\limits_{x → +∞}\frac{x^2 – 3x + 2}{x + 1} = +∞\) nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
Câu d: \(y = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} – 1}\)
Hàm số xác định khi: \(\begin{cases}x ≥ 0\\\sqrt{x} – 1 ≠ 0\end{cases} ⇔ \begin{cases}x ≥ 0\\x ≠ 1\end{cases}\)
⇒ D = [0; +∞) \ {1}
Vì \(\mathop {\lim}\limits_{x → 1^-}\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} – 1} = -∞\) nên đường thẳng x = 1 là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vì \(\mathop {\lim}\limits_{x → +∞}\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} – 1} = \mathop {\lim}\limits_{x → +∞}\frac{\sqrt{x}(1 + \frac{1}{\sqrt{x}})}{\sqrt{x}(1 – \frac{1}{\sqrt{x}})} = 1\) nên đường thẳng y = 1 là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Chú ý: Có thể sử dụng MTCT để tính toán các giới hạn.
Câu a: \(y = \frac{2 – x}{9 – x^2}\)
\(\mathop {\lim}\limits_{x → (-3)^-}\frac{2 – x}{9 – x^2} = +∞; \mathop {\lim}\limits_{x → (-3)^+}\frac{2 – x}{9 – x^2} = +∞\) vì vậy đường thẳng x = -3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
\(\mathop {\lim}\limits_{x → 3^-}\frac{2 – x}{9 – x^2} = -∞; \mathop {\lim}\limits_{x → 3^+}\frac{2 – x}{9 – x^2} = -∞\) vì vậy nên đường thẳng x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
\(\mathop {\lim}\limits_{x → +∞}\frac{2 – x}{9 – x^2} = 0; \mathop {\lim}\limits_{x → -∞}\frac{2 – x}{9 – x^2} = 0\) vì vậy nên đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Câu b: \(y = \frac{x^2 + x + 1}{3 – 2x – 5x^2}\)
Vì:
\(\mathop {\lim}\limits_{x → (-1)^+}\frac{x^2 + x + 1}{3 – 2x – 5x^2} = +∞; \mathop {\lim}\limits_{x → (-1)^-}\frac{x^2 + x + 1}{3 – 2x – 5x^2} = -∞\)
\(\mathop {\lim}\limits_{x → (\frac{3}{5})^+}\frac{x^2 + x + 1}{3 – 2x – 5x^2} = -∞; \mathop {\lim}\limits_{x → (\frac{3}{5})^-}\frac{x^2 + x + 1}{3 – 2x – 5x^2} = +∞;\)
Vì vậy đồ thị của hàm số có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng: \(x = -1; x = \frac{3}{5}\).
Vì: \(\mathop {\lim}\limits_{x → -∞}\frac{x^2 + x + 1}{3 – 2x – 5x^2} = -\frac{1}{5}; \mathop {\lim}\limits_{x → +∞}\frac{x^2 + x + 1}{3 – 2x – 5x^2} = -\frac{1}{5}\)
Vì vậy đồ thị của hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = -\frac{1}{5}\).
Câu c: \(y = \frac{x^2 – 3x + 2}{x + 1}\)
\(\mathop {\lim}\limits_{x → (-1)^-}\frac{x^2 – 3x + 2}{x + 1} = -∞; \mathop {\lim}\limits_{x → (-1)^+}\frac{x^2 – 3x + 2}{x + 1} = +∞\) vì vậy đường thẳng x = -1 là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
\(\mathop {\lim}\limits_{x → -∞}\frac{x^2 – 3x + 2}{x + 1} = \mathop {\lim}\limits_{x → -∞}\frac{x^2(1 – \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2})}{x(1 + \frac{1}{x})} = -∞\) và \(\mathop {\lim}\limits_{x → -∞}\frac{x^2 – 3x + 2}{x + 1} = +∞\) vì vậy đồ thị của hàm số không có tiệm cận ngang.
Câu d: \(y = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} – 1}\)
Hàm số xác định khi: \(\begin{cases}x ≥ 0\\\sqrt{x} – 1 ≠ 0\end{cases} ⇔ \begin{cases}x ≥ 0\\x ≠ 1\end{cases}\)
Vì \(\mathop {\lim}\limits_{x → 1^-}\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} – 1} = -∞\) (hoặc \(\mathop {\lim}\limits_{x → 1^+}\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} – 1} = +∞\)) vì vậy đường thẳng x = 1 là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vì \(\mathop {\lim}\limits_{x → +∞}\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} – 1} = \mathop {\lim}\limits_{x → +∞}\frac{\sqrt{x}(1 + \frac{1}{\sqrt{x}})}{\sqrt{x}(1 – \frac{1}{\sqrt{x}})} = 1\) vì vậy đường thẳng y = 1 là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 2 Trang 30 SGK Giải Tích Lớp 12 Của Bài 4: Đường Tiệm Cận Thuộc Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số Môn Giải Tích Lớp 12. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Giải Tích Lớp 12.
Trả lời