Chương II: Hàm Số Lũy Thừa – Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit – Giải Tích Lớp 12
Bài 6: Bất Phương Trình Mũ Và Bất Phương Trình Lôgarit
Bài Tập 1 Trang 89 SGK Giải Tích Lớp 12
Giải các bất phương trình mũ:
a. \(\)\(2^{-x^2 + 3x} < 4\)
b. \((\frac{7}{9})^{2x^2 – 3x} ≥ \frac{9}{7}\)
c. \(3^{x + 2} + 3^{x – 1} ≤ 28\)
d. \(4^x – 3.2^x + 2 > 0\)
Lời Giải Bài Tập 1 Trang 89 SGK Giải Tích 12
Câu a: \(2^{-x^2 + 3x} < 4\)
Phương pháp giải: Đưa về cùng cơ số 2, giải bất phương trình mũ cơ bản:
\(a^{f(x)} < a^{g(x)} ⇔ \left[ \begin{gathered} \begin{cases}a > 1\\f(x) < g(x)\end{cases} \\ \begin{cases}0 < a < 1\\f(X) > g(x)\end{cases}\\ \end{gathered} \right.\)
Giải: \(2^{-x^2 + 3x} < 4\)
\(⇔ 2^{-x^2 + 3x} < 2^2\)
\(⇔ -x^2 + 3x < 2\)
\(⇔ x^2 – 3x + 2 > 0\)
\(⇔ \left[ \begin{gathered} x > 2 \\ x < 1\\ \end{gathered} \right.\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(S = (-∞; 1) ∪ (2; +∞)\)
Câu b: \((\frac{7}{9})^{2x^2 – 3x} ≥ \frac{9}{7}\)
Phương pháp giải: Đưa về cùng cơ số \(\frac{7}{9}\), giải bất phương trình mũ cơ bản:
\(a^{f(x)} < a^{g(x)} ⇔ \left[ \begin{gathered} \begin{cases}a > 1\\f(x) < g(x)\end{cases} \\ \begin{cases}0 < a < 1\\f(x) > g(x)\end{cases}\\ \end{gathered} \right.\)
Giải: \((\frac{7}{9})^{2x^2 – 3x} ≥ \frac{9}{7}\)
\(⇔ (\frac{7}{9})^{2x^2 – 3x} ≥ (\frac{7}{9})^{-1}\)
\(⇔ 2x^2 – 3x ≤ -1\)
\(⇔ 2x^2 – 3x + 1 ≤ 0\)
\(⇔ \frac{1}{2} ≤ x ≤ 1\)
Vậy tâp nghiệm của bất phương trình là: \(S = [\frac{1}{2}; 1]\)
Câu c: \(3^{x + 2} + 3^{x – 1} ≤ 28\)
Phương pháp giải: Sử dụng công thức \(a^m.a^n = a^{m + n}\), làm xuất hiện nhân tử chung ở VT. Đưa bất phương trình ban đầu về dạng phương trình mũ cơ bản.
Giải: \(3^{x + 2} + 3^{x – 1} ≤ 28\)
\(⇔ 3^{x – 1 + 3} + 3^{x – 1} ≤ 28\)
\(⇔ 3^{x – 1}.3^3 + 3^{x – 1} ≤ 28\)
\(⇔ 3^{x – 1}(3^3 + 1) ≤ 28\)
\(⇔ 3^{x – 1}.28 ≤ 28\)
\(⇔ 3^{x – 1} ≤ 1\)
\(⇔ 3^{x – 1} ≤ 3^0\)
\(⇔ x – 1 ≤ 0\)
\(⇔ x ≤ 1\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(S = (-∞; 1)\)
Câu d: \(4^x – 3.2^x + 2 > 0\)
Phương pháp giải: Giải bất phương trình mũ bằng cách đặt ẩn phụ: \(t = 2^x (t > 0)\)
Giải: \(4^x – 3.2^x + 2 > 0 ⇔ (2^x)^2 – 3.2^x + 2 > 0\)
Đặt \(t = 2^x > 0\), bất phương trình đã cho trở thành
\(t^2 – 3t + 2 > 0 ⇔ \left[ \begin{gathered} t > 2 \\ t < 1\\ \end{gathered} \right.\)
\(⇔ \left[ \begin{gathered} 2^x > 2 \\ 2^x < 1\\ \end{gathered} \right. ⇔ \left[ \begin{gathered} 2^x > 2^1 \\ 2^x < 2^0\\ \end{gathered} \right. ⇔ \left[ \begin{gathered} x > 1 \\ x < 0\\ \end{gathered} \right.\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(S = (-∞; 0) ∪ (1; +∞)\)
Câu a: \(2^{-x^2 + 3x} < 4\)
\(⇔ 2^{-x^2 + 3x} < 2^2 ⇔ -x^2 + 3x < 2\)
\(⇔ x^2 – 3x + 2 > 0 ⇔ x > 2\) hoặc \(x < 1\)
Câu b: \((\frac{7}{9})^{2x^2 – 3x} ≥ \frac{9}{7}\)
\(⇔ (\frac{7}{9})^{2x^2 – 3x} ≥ (\frac{7}{9})^{-1}\)
\(⇔ 2x^2 – 3x ≤ -1 ⇔ 2x^2 – 3x + 1 ≤ 0\)
\(⇔ x ∈ [1; 2]\)
Câu c: \(3^{x + 2} + 3^{x – 1} ≤ 28\)
\(⇔ 3^{x – 1}(3^3 + 1) ≤ 28\)
\(⇔ 3^{x – 1} ≤ 3^0 ⇔ x – 1 ≤ 0\)
\(⇔ x ≤ -1\)
Câu d: \(4^x – 3.2^x + 2 > 0\)
Đặt \(t = 2^x > 0\), bất phương trình đã cho trở thành
\(t^2 – 3t + 2 > 0 ⇔ 0 < t < 1\) hoặc \(t > 2\)
Trở lại biến cũ ta được
\(2^x < 1 ⇔ 2^x < 2^0 ⇔ x < 0\)
hoặc
\(2^x > 2 ⇔ 2^x > 2^1 ⇔ x > 1\)
Câu a: Ta có: \(2^{-x^2 + 3x} < 4 ⇔ 2^{-x^2 + 3x} < 2^2\)
\(⇔ -x^2 + 3x < 2\) (vì cơ số 2 > 1)
\(⇔ x^2 – 3x + 2 > 0 ⇔ x ∈ (-∞; 1) ∪ (2; +∞)\)
Câu b: Ta có: \(\frac{7}{9}^{2x^2 – 3x} ≥ \frac{9}{7} ⇔ \frac{7}{9}^{2x^2 – 3x} ≥ (\frac{9}{7})^1\)
\(⇔ \frac{9}{7}^{-2x^2 + 3x} ≥ (\frac{9}{7})^1\)
\(⇔ -2x^2 + 3x ≥ 1\)
\(⇔ 2x^2 – 3x + 1 ≤ 0 ⇔ \frac{1}{2} ≤ x ≤ 1\)
Câu c: Ta có: \(3^{x + 2} + 3^{x – 1} ≤ 28\)
\(⇔ 3^2.3^x + 3^{-1}.3^x ≤ 28\)
\(⇔ (9 + \frac{1}{3}).3^x ≤ 28\)
\(⇔ 3^x ≤ 3 ⇔ x ≤ 1\)
Câu d: \(4^x – 3.2^x + 2 > 0\)
Đặt \(2^x = t > 0\) ta được: \(\begin{cases}t^2 – 3t + 2 > 0\\t > 0\end{cases}\)
⇔ 0 < t < 1 hoặc t > 2
+ Với \(0 < t < 1 ⇔ 0 < 2^x < 1 ⇔ x < 0\)
+ Với t > 2 ta có: \(2^x > 2^1 ⇔ x > 1\)
Vậy: x < 0 hoặc x > 1
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 1 Trang 89 SGK Giải Tích Lớp 12 Của Bài 6: Bất Phương Trình Mũ Và Bất Phương Trình Lôgarit Thuộc Chương II: Hàm Số Lũy Thừa – Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit Môn Giải Tích Lớp 12. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Giải Tích Lớp 12.
Trả lời