Chương II: Hàm Số Lũy Thừa – Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit – Giải Tích Lớp 12
Bài 6: Bất Phương Trình Mũ Và Bất Phương Trình Lôgarit
Bài Tập 2 Trang 90 SGK Giải Tích Lớp 12
Giải các bất phương trình Lôgarit:
a. \(\)\(log_8(4 – 2x) ≥ 2\)
b. \(log_{\frac{1}{5}}(3x – 5) > log_{\frac{1}{5}}(x + 1)\)
c. \(log_{0,2}x – log_5(x – 2) < log_{0,2}3\)
d. \(log_3^2x – 5log_3x + 6 ≤ 0\)
Lời Giải Bài Tập 2 Trang 90 SGK Giải Tích 12
Câu a: \(log_8(4 – 2x) ≥ 2\)
Phương pháp giải:
Tìm điều kiện: Giải phương trình logarit cơ bản: \(log_ax ≥ b ⇔ \left[ \begin{gathered} \begin{cases}a > 1\\x ≥ a^b\end{cases} \\ \left[ \begin{gathered} 0 < a < 1 \\ 0 < x ≤ a^b\\ \end{gathered} \right.\\ \end{gathered} \right.\)
Giải: Điều kiện: \(4 – 2x > 0 ⇔ x < 2\)
\(log_8(4 – 2x) ≥ 2\)
\(⇔ 4 – 2x ≥ 8^2 = 64\) (Do 8 > 1)
\(⇔ 2x ≤ -60\)
\(⇔ x ≤ -30\)
Kết hợp điều kiện \(x < 2\) ta có \(x ≤ -30\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(S = (-∞; -30)\)
Câu b: \(log_{\frac{1}{5}}(3x – 5) > log_{\frac{1}{5}}(x + 1)\)
Phương pháp giải:
Tìm điều kiện: Giải phương trình logarit cơ bản: \(log_af(x) > log_ag(x) ⇔ \left[ \begin{gathered} \begin{cases}a > 1\\f(x) > g(x)\end{cases} \\ \begin{cases}0 < a < 1\\f(x) < g(x)\end{cases}\\ \end{gathered} \right.\)
Giải: Điều kiện
\(\begin{cases}3x – 5 > 0\\x + 1 > 0\end{cases} ⇔ \begin{cases}x > \frac{5}{3}\\x > -1\end{cases} ⇔ x > \frac{5}{3}\)
\(log_{\frac{1}{5}}(3x – 5) > log_{\frac{1}{5}}(x + 1)\)
\(⇔ 3x – 5 < x + 1 (Do \frac{1}{5} < 1)\)
\(⇔ 2x < 6 ⇔ x < 3\)
Kết hợp điều kiện ta có: \(\frac{5}{3} < x < 3\)
Câu c: \(log_{0,2}x – log_5(x – 2) < log_{0,2}3\)
Phương pháp giải:
Tìm điều kiện: Đưa về cùng logarit cơ số \(0,2\), sử dụng công thức cộng các logarit cùng cơ số: \(log_ax + log_ay = log_a(xy)\) (giả sử các biểu thức là có nghĩa).
Đưa về bất phương trình logarit cơ bản:
\(log_af(x) < log_ag(x) ⇔ \left[ \begin{gathered} \begin{cases}a > x\\0 < f(x) < g(x)\end{cases} \\ \begin{cases}0 < a < 1\\f(x) > g(x) > 0\end{cases}\\ \end{gathered} \right.\)
Giải: Điều kiện: \(x > 2\). Chú ý rằng:
\(log_5(x – 2) = log_{(\frac{1}{5})^{-1}}(x – 2) = -log_{0,2}(x – 2)\)
Nên bất phương trình đã cho tương đương với
\(log_{0,2}x + log_{0,2}(x – 2) < log_{0,2}3\)
\(⇔ log_{0,2}x(x – 2) < log_{0,2}3\)
\(⇔ x(x – 2) > 3\)
\(⇔ x^2 – 2x – 3 > 0\)
\(⇔ (x – 3)(x + 1) > 0\)
\(⇔ x – 3 > 0 ⇔ x > 3\) (do x > 2)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = (3; +∞)\)
Cách khác: Có thể đưa về cùng cơ số 5 như sau:
Câu c: Điều kiện: \(x > 2\)
\(log_{0,2}x – log_5(x – 2) < log_{0,2}3\)
\(⇔ log_{5^{-1}}x – log_5(x – 2) < log_{5^{-1}}3\)
\(⇔ -log_5x – log_5(x – 2) < log_{5^{-1}}3\)
\(⇔ log_5x + log_5(x – 2) > log_53\)
\(⇔ log_5[x(x – 2)] > log_53\)
\(⇔ x(x – 2) > 3\)
\(⇔ x^2 – 2x – 3 > 0\)
\(⇔ \left[ \begin{gathered} x > 3 \\ x < -1\\ \end{gathered} \right.\)
Kết hợp với điều kiện xác định được \(x > 3\).
Vậy bất phương trình có tập nghiệm \((3; +∞)\).
Câu d: \(log_3^2x – 5log_3x + 6 ≤ 0\)
Tìm điều kiện.
Giải bất phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ: \(t = log_3x\), đưa về phương trình bậc hai ẩn t.
Giải: Điều kiện: x > 0
Đặt \(t = log_3x\) ta được bất phương trình
\(t^2 – 5t + 6 ≤ 0 ⇔ 2 ≤ t ≤ 3\)
\(⇔ 2 ≤ log_3x ≤ 3 ⇔ 3^2 ≤ x ≤ 3^3 ⇔ 9 ≤ x ≤ 27\)
Kết hợp điều kiện ta có \(9 ≤ x ≤ 27\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = [9; 27]\)
Phương pháp giải:
Ta sử dụng các phương pháp sau để giải các bất phương trình lôgarit bài 2:
Câu a, câu b, câu c: ta dùng phương pháp đưa về cùng cơ số:
Với \(a > 1: log_af(x) > log_ag(x) ⇔ \begin{cases}f(x) > g(x)\\g(x) > 0\end{cases}\)
Với \(0 < a < 1: log_af(x) > log_ag(x) ⇔ \begin{cases}f(x) < g(x)\\f(x) > 0\end{cases}\)
Câu d: dùng phương pháp đặt ẩn phụ: Đặt 1 ẩn và đưa về phương trình theo một ẩn mới.
Câu a: \(log_8(4 – 2x) ≥ 2\)
Điều kiện \(x ≤ 2\)
Ta có: \(2 = log_88^2\) nên \(log_8(4 – 2x) ≥ log_88^2\)
\(⇔ 4 – 2x ≥ 64 ⇔ x ≤ -30\)
Câu b: \(log_{\frac{1}{5}}(3x – 5) > log_{\frac{1}{5}}(x + 1)\)
\(⇔ 0 < 3x – 5 < x + 1 ⇔ \frac{5}{3} < x < 3\)
Câu c: \(log_{0,2}x – log_5(x – 2) < log_{0,2}3\)
Điều kiện: x > 2. Chú ý rằng
\(log_5(x – 2) = log_{(\frac{1}{5})^{-1}}(x – 2) = -log_{0,2}(x – 2)\), nên bất phương trình đã cho tương đương với
\(log_{0,2}x + log_{0,2}(x – 2) < log_{0,2}3\)
\(⇔ log_{0,2}x(x – 2) < log_{0,2}3 ⇔ x(x – 2) > 3\)
\(⇔ x^2 – 2x – 3 > 0 ⇔ (x – 3)(x + 1) > 0\)
\(⇔ x – 3 > 0 ⇔ x > 3 (do x > 2)\)
Câu d: \(log_3^2x – 5log_3x + 6 ≤ 0\)
Đặt \(t = log_3x\) ta được bất phương trình
\(t^2 – 5t + 6 ≤ 0 ⇔ 2 ≤ t ≤ 3\)
\(2 ≤ log_3x ≤ 3 ⇔ log_33^2 ≤ log_3x ≤ log_33^3 ⇔ 9 ≤ x ≤ 27\)
Câu a: \(log_8(4 – 2x) ≥ 2\)
Điều kiện: \(4 – 2x > 0 ⇔ x < \frac{1}{2}\)
\(log_8(4 – 2x) ≥ 2 ⇔ log_8(4 – 2x) ≥ log_864\)
\(⇔ 4 – 2x ≥ 64 ⇔ x ≤ -30\)
Câu b: \(log_{\frac{1}{5}}(3x – 5) > log_{\frac{1}{5}}(x + 1)\)
Điều kiện: \(3x – 5 > 0; x > -1 ⇔ x > \frac{5}{3}\)
\(log_{\frac{1}{5}}(3x – 5) > log_{\frac{1}{5}}(x + 1)\)
\(⇒ \begin{cases}3x – 5 < x + 1\\x > \frac{5}{3}\end{cases}\)
\(⇔ \frac{5}{3} < x < 3\)
Câu c: \(log_{0,2}x – log_5(x – 2) < log_{0,2}3\)
Điều kiện: x – 2 > 0; x > 0 ⇔ x > 2
\(log_{0,2}x – log_5(x – 2) < log_{0,2}3\)
\(⇔ log_{5^{-1}}x – log_5(x – 2) < log_{5^{-1}} 3\)
\(⇔ -log_5x – log_5(x – 2) < -log_53\)
\(⇔ log_5x(x – 2) > log_53 ⇔ x(x – 2) > 3\)
\(⇔ x < 3; x > 3\)
Kết hợp điều kiện ta có x > 3
Câu d: \(log_3^2x – 5log_3x + 6 ≤ 0\)
Điều kiện x > 0
Đặt \(t = log_3x\)
ta được \(t^2 – 5t + 6 ≤ 0 ⇔ 2 ≤ t ≤ 3\)
Suy ra: \(2 ≤ log_3x ≤ 3 ⇔ 3^2 ≤ x ≤ 3^3\)
\(⇔ 9 ≤ x ≤ 27\)
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 2 Trang 90 SGK Giải Tích Lớp 12 Của Bài 6: Bất Phương Trình Mũ Và Bất Phương Trình Lôgarit Thuộc Chương II: Hàm Số Lũy Thừa – Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit Môn Giải Tích Lớp 12. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Giải Tích Lớp 12.
Trả lời