Chương III: Vectơ Trong Không Gian. Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian – Hình Học Lớp 11
Câu Hỏi Ôn Tập Chương III
Bài Tập 10 Trang 120 SGK Hình Học Lớp 11
Chứng minh rằng tập hợp các điểm cách đều ba đỉnh của tam giác ABC là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) và đi qua tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Lời Giải Bài Tập 10 Trang 120 SGK Hình Học Lớp 11
Chiều thuận: Lấy một điểm M bất kì trong không gian sao cho MA = MB = MC. Từ M kẻ MO vuông góc với (ABC). Chứng minh OA = OB = OC.
Chiều ngược: Lấy một điểm M’ ∈ d, nối M’A, M’B, M’C, cho O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, chứng minh M’A = M’B = M’C.
Lấy một điểm M bất kì trong không gian sao cho MA = MB = MC. Từ M kẻ MO vuông góc với (ABC). Các tam giác vuông MOA, MOB, MOC bằng nhau, suy ra OA = OB = OC.
Do đó O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Vậy các điểm M cách đều ba đỉnh của tam giác ABC nằm trên đường thẳng d đi qua tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là vuông góc với mặt phẳng (ABC).
Ngược lại, lấy một điểm M’ ∈ d, nối M’A, M’B, M’C.
Do M’O chung và OA = OB = OC nên các tam giác vuông M’OA, M’OB, M’OC bằng nhau, suy ra M’A = M’B = M’C.
Tức là điểm M’ cách đều ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC.
Kết luận: Tập hợp các điểm cách đều ba đỉnh của tam giác ABC là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) và đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Ta có thể gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC.
Giả sử ta có điểm M thỏa mãn MA = MB = MC.
Và khi đó ta có thể thấy các tam giác MOA, MOB, MOC bằng nhau (cạnh-cạnh-cạnh).
Sau đó ta gọi I là trung điểm của AB.
Ta có tam giác IMA bằng tam giác IBM (cạnh huyền-cạnh góc vuông).
Suy ra: \(\)\(\widehat {MIA} = \widehat {MIB} = {90^0} => IM ⊥ AB.\)
Mặt khác: \(OI ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (MOI) ⇒ OM ⊥ AB.\)
Tiếp tục chứng minh tương tự ta có \(AC ⊥ OM.\)
Suy ra: \(OM ⊥ (ABC).\)
Vậy sau cùng ta có M chạy trên đường thẳng đi qua O và vuông góc với mặt phẳng (ABC).
– Lấy một điểm M bất kì trong không gian sao cho MA = MB = MC. Từ M kẻ MO vuông góc với mp(ABC). Các tam giác vuông MOA, MOB, MOC bằng nhau, cho ta OA = OB = OC.
– Suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Vậy các điểm M cách đều ba đỉnh của tam giác ABC nằm trên đường thẳng d đi qua tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và vuông góc với mp(ABC). Ngược lại, lấy một điểm M’ ∈ d, nối M’A, M’B, M’C.
– Do M’O chung và OA = OB = OC nên các tam giác vuông M’OA, M’OB, M’OC bằng nhau, cho ta M’A = M’B = M’C.
– Tức là điểm M’ cách đều ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC.
– Kết luận: Tập hợp các điểm cách đều ba đỉnh của tam giác ABC là đường thẳng vuông góc với mp(ABC) và đi qua tâm của đường tròn ngoại tam giác ABC.
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 10 Trang 120 SGK Hình Học Lớp 11 Của Câu Hỏi Ôn Tập Chương III Thuộc Chương III: Vectơ Trong Không Gian. Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian Môn Hình Học Lớp 11. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Hình Học Lớp 11.
Bài Tập Liên Quan:
- Bài Tập 1 Trang 120 SGK Hình Học Lớp 11
- Bài Tập 2 Trang 120 SGK Hình Học Lớp 11
- Bài Tập 3 Trang 120 SGK Hình Học Lớp 11
- Bài Tập 4 Trang 120 SGK Hình Học Lớp 11
- Bài Tập 5 Trang 120 SGK Hình Học Lớp 11
- Bài Tập 6 Trang 120 SGK Hình Học Lớp 11
- Bài Tập 7 Trang 120 SGK Hình Học Lớp 11
- Bài Tập 8 Trang 120 SGK Hình Học Lớp 11
- Bài Tập 9 Trang 120 SGK Hình Học Lớp 11
Trả lời