Chương III: Quan Hệ Giữa Các Yếu Tố Trong Tam Giác. Các Đường Đồng Quy Của Tam Giác – Hình Học Lớp 7 – Tập 2
Giải Bài Tập SGK: Bài 8 Tính Chất Ba Đường Trung Trực Của Tam Giác
Bài Tập 55 Trang 80 SGK Hình Học Lớp 7 – Tập 2
Cho hình 51: Chứng minh ba điểm B, C, D thẳng hàng.
Gợi ý: Chứng minh \(\widehat{ADB} + \widehat{ADC} = 180^0\)
Lời Giải Bài Tập 55 Trang 80 SGK Hình Học Lớp 7 – Tập 2
Ta sẽ chứng minh \(\)\(\widehat{ADB} + \widehat{ADC} = 180^0\) bằng cách chứng minh \(\widehat{ADK} + \widehat{ADI} = 90^0\).
Giải:
Nối BD, AD và CD.Từ hình vẽ ta có:
DK là đường trung trực của AC suy ra: AD = CD (theo định lí 2) (1)
DI là đường trung trực của AB suy ra: BD = AD (theo định lí 2) (2)
Từ (1) và (2) ta có: BD = AD = CD
Xét ΔADK và ΔCDK có:
– AD = CD (chứng minh trên)
– DK chung
– AK = KC (giả thiết)
Vậy ΔADK = ΔCDK (c.c.c)
\(⇒ \widehat{ADK} = \widehat{CDK}\) (hai góc tương ứng)
hay DK là tia phân giác của \widehat{ADC}\)
\(⇒ \widehat{ADK} = \frac{1}{2}\widehat{ADC}\)
Xét ∆ADI và ∆BDI có:
– DI chung
– AD = BD (chứng minh trên)
– AI = BI (giả thiết)
Vậy ∆ADI = ∆BDI (c.c.c)
\(⇒ \widehat{ADI} = \widehat{BDI}\) (hai góc tương ứng)
⇒ DI là tia phân giác của \(\widehat{ADB}\)
\(⇒ \widehat{ADI} = \frac{1}{2}\widehat{ADB}\)
Vì AC // DI ( cùng vuông góc với AB) mà DK ⊥ AC
⇒ DK ⊥ DI
hay \(\widehat{ADK} + \widehat{ADI} = {90^0}\)
Do đó \(\frac{1}{2}\widehat{ADC} + \frac{1}{2} \widehat{ADB} = {90^0}\)
\(⇒ \widehat{ADC} + \widehat{ADB}= {180^0}\)
Vậy B, D, C thẳng hàng (điều phải chứng minh).
Cách giải khác
Nối B và C và D, ta có: Tam giác IBD vuông tại I, do đó: \(\widehat{D_1} + \widehat{B_1} = 90^0\)
– Xét tam giác ABD, ta có DI vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến. Vậy ∆ABD cân tại D.
Vì DI là đường trung tuyến của tam giác cân ABD nên DI cũng là đường phân giác \(⇒ \widehat{D_1} = \widehat{D_2}\) (1)
– Tượng tự ∆ADC cân tại D. Suy ra đường trung tuyến AK cũng là đường phân giác \(⇒ \widehat{D_3} = \widehat{D_4}\) (2)
\(\begin{cases}Vì \, \, BA ⊥ AC \, \, (gt)\\và \, \, DK ⊥ AC \, \, (gt)\end{cases} ⇒ BA // DK\)
\(\widehat{A_1} và \widehat{D_3}\) là hai góc so le trong \(⇒ \widehat{A_1} = \widehat{D_3}\)
– Ta có: \(\widehat{BDC} = \widehat{D_1} + \widehat{D_2} + \widehat{D_3} + \widehat{D_4} = 2\widehat{D_1} + 2\widehat{D_3}\)
\(= 2\widehat{D_1} + 2\widehat{B} = 2(\widehat{D_1} + \widehat{B})\)
\(= 2.90^0 = 180^0\)
Vậy góc \(\widehat{BDC} = 180^0\) hay \(\widehat{BDC}\) là góc bẹt.
Suy ra ba điểm B, D, C thẳng hàng (đpcm)
Hướng dẫn giải bài tập 55 trang 80 sgk hình học lớp 7 tập 2 bài 8 tính chất ba đường trung trực của tam giác. Cho hình 51: Chứng minh ba điểm B, C, D thẳng hàng.
Trả lời