Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số – Giải Tích Lớp 12
Bài 2: Cực Trị Của Hàm Số
Bài Tập 6 Trang 18 SGK Giải Tích Lớp 12
Xác định giá trị của tham số m để hàm số \(\)\(y = \frac{x^2 + mx + 1}{x + m}\) đạt cực đại tại \(x = 2\).
Lời Giải Bài Tập 6 Trang 18 SGK Giải Tích Lớp 12
Vận dụng kiến thức: \(x_0\) là điểm cực đại của hàm số \(y = f(x) ⇔ \begin{cases}f'(x_0) = 0\\f”(x_0) < 0\end{cases}\)
Tập xác định: D = R \ {-m}
Ta có: \(y = x + \frac{1}{x + m} ⇒ y’ = 1 – \frac{1}{(x + m)^2} ⇒ y” = \frac{2(x + m)}{(x + m)^4} = \frac{2}{(x + m)^3}\)
Hàm số đạt cực đại tại \(x = 2 ⇔ \begin{cases}y'(2) = 0\\y”(2) < 0\end{cases}\)
– \(y”(2) < 0 ⇔ \frac{2}{(2 + m)^3} < 0 ⇔ (2 + m)^3 < 0 ⇔ 2 + m < 0 ⇔ m < -2\)
– \(y'(2) = 0 ⇔ 1 – \frac{1}{(2 + m)^2} = 0 ⇔ (2 + m)^2 = 1 ⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} m = -1(loại)\\ m = -3 (thỏa\, \, mãn) \end{matrix}\)
Vậy \(m = -3\)
Xét hàm số: \(y = \frac{x^2 + mx + 1}{x + m}\)
Ta có tập xác định: \(D = R \ {-m}\)
Đạo hàm của hàm số:
\(y’ = \frac{2x^2 + 2mx + m^2 – 1}{(x + m)^2}\)
Như vậy hàm số đạt cực đại tại x = 2 thì \(y'(2) = 0 ⇔ m^2 + 4m + 3 = 0 ⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix}m = -1\\ m = -3 \end{matrix}\)
Với \(m = -1\), ta có: \(y = \frac{x^2 – x + 1}{x – 1}\)
\(y’ = \frac{x^2 – 2x}{(x – 1)^2}; y’ = 0 ⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} x = 0\\ x = 2 \end{matrix}\)
Bảng biến thiên của hàm số như sau:
Với m = -1 hàm số không đạt cực đại tại x = 2
Như vậy ta thấy hàm số không đạt cực đại tại \(x = 2\).
– Với \(m = -3\), ta có: \(y = \frac{x^23x + 1}{x – 3}\)
\(y’ = \frac{x^2 – 6x + 8}{(x – 3)^2}; y’ = 0 ⇔ \begin{cases}x^{2 – 6x + 8 = 0}\\x ≠ 3\end{cases}\)
\(⇔ x=2\) hoặc \(x = 4\)
Ta có bảng biến thiên như sau:
Như vậy khi m = -3 thì hàm số đạt cực đại tại x = 2.
Vậy m = -3 là giá trị cần tìm.
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 6 Trang 18 SGK Giải Tích Lớp 12 Của Bài 2: Cực Trị Của Hàm Số Thuộc Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số Môn Giải Tích Lớp 12. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Giải Tích Lớp 12.
Trả lời