Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số – Giải Tích Lớp 12
Bài 2: Cực Trị Của Hàm Số
Bài Tập 2 Trang 18 SGK Giải Tích Lớp 12
Áp dụng Quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:
a. \(\)\(y = x^4 – 2x^2 + 1\)
b. \(y = sin2x – x\)
c. \(y = \sin x + \cos x\)
d. \(y = x^5 – x^3 – 2x + 1\)
Lời Giải Bài Tập 2 Trang 18 SGK Giải Tích Lớp 12
Câu a: \(y = x^4 – 2x^2 + 1\)
Phương pháp giải: Quy tắc II tìm cực trị của hàm số.
Bước 1: Tìm tập xác định.
Bước 2: Tính f'(x). Giải phương trình f'(x) = 0 và kí hiệu \(x_i(i = 1, 2,… n)\) là các nghiệm của nó.
Bước 3: Tính f”(x) và \(f”(x_i)\)
Bước 4: Dụa vào dấu của \(f”(x_i)\) suy ra tính chất cực trị của điểm \(x_i\).
Giải:
Tập xác định: D = R
\(y’ = 4x^3 – 4x = 4x(x^2 – 1)\)
\(y’ = 0 ⇔ 4x(x^2 – 1) = 0 ⇔ x = 0, x = ±1\)
\(y” = 12x^2 – 4\)
\(y”(0) = -4 < 0\) nên hàm số đạt cực đại tại x = 0
\(y_{cđ} = y(0) = 1\)
\(y”(±1) = 8 > 0\) nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x = ±1\).
\(y_{ct} = y(±1) = 0\)
Câu b: \(y = sin2x – x\)
Phương pháp giải: Quy tắc II tìm cực trị của hàm số.
Giải:
Tập xác định: D = R
\(y’ = 2cos2x – 1\)
\(y’ = 0 ⇔ cos2x = \frac{1}{2} ⇔ 2x = ±\frac{π}{3} + k2π\)
\(⇔ x = ±\frac{π}{6} + kπ\)
\(y” = -4sin2x\)
\(y”(\frac{π}{6} + kπ) = -4sin(\frac{π}{3} + k2π)\)
\(= -2\sqrt{3} < 0\) nên hàm số đạt cực đại tại các điểm \(x = \frac{π}{6} + kπ\).
\(y_{cđ} = sin(\frac{π}{3} + k2π) – \frac{π}{6} – kπ = \frac{\sqrt{3}}{2} – \frac{π}{6} – kπ, k ∈ Z.\)
\(y”(-\frac{π}{6} + kπ) = -4sin(-\frac{π}{3} + k2π)\)
\(= 2\sqrt{2} > 0\) nên hàm số đạt cực tiểu tại các điểm \(x = -\frac{π}{6} + kπ, y_{ct} = sin(-\frac{π}{3} + k2π) + \frac{π}{6} – kπ = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{π}{6} – kπ, k ∈ Z.\)
Câu c: \(y = \sin x + \cos x\)
Phương pháp giải: Quy tắc II tìm cực trị của hàm số.
Giải:
Tập xác định: D = R
\(y = \sin x + \cos x = \sqrt{2}sin(x + \frac{π}{4})\)
\(y’ = \sqrt{2}cos(x + \frac{π}{4})\)
\(y’ = 0 ⇔ cos(x + \frac{π}{4}) = 0 ⇔ x + \frac{π}{4} = \frac{π}{2} + kπ ⇔ x = \frac{π}{4} + kπ\)
\(y” = -\sqrt{2}sin(x + \frac{π}{4})\)
\(y”(\frac{π}{4} + kπ) = -\sqrt{2}sin(\frac{π}{4} + kπ + \frac{π}{4})\)
\(= -\sqrt{2}sin(\frac{π}{2} + kπ)\)
\(= \begin{cases}-\sqrt{2} \, \, nếu \, \, k \, \, chẵn\\\sqrt{2} \, \, nếu \, \, k \, \, lẻ \end{cases}\)
Do đó hàm số đạt cực đại tại các điểm \(x = \frac{π}{4} + k2π\), đạt cực tiểu tại các điểm \(x = \frac{π}{4} + (2k + 1)π; (k ∈ Z)\)
Câu d: \(y = x^5 – x^3 – 2x + 1\)
Phương pháp giải: Quy tắc II tìm cực trị của hàm số.
Tập xác định: D = R
\(y’ = 5x^4 – 3x^2 – 2 = (x^2 – 1)(5x^2 + 2); y’ = 0\)
\(⇔ x^2 – 1 = 0 ⇔ x = ±1.\)
\(y” = 20x^3 – 6x\)
\(y”(1) = 14 > 0\) nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1, y_{ct} = y(1) = -1\)
\(y”(-1) = -14 < 0\) hàm số đạt cực đại tại x = -1.
\(y_{cđ} = y(-1) = 3\)
Với các hàm số dễ dàng xét dấu đạo hàm của hàm số để lập bảng biến thiên ta thường dùng quy tắc I. Tuy nhiên, trong quá trình học các em sẽ gặp các trường hợp xét của đạo hàm rất phức tạp thì chúng ta sử dụng quy tắc II để tìm cực trị.
Ôn tập lý tuyết quy tắc II xíu nhé:
Bước 1: Cần tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Tính \(f'(x)\). Sau đó tìm các nghiệm của phương trình \(f'(x) = 0\).
Bước 3: Tính \(f”(x)\) và \(f”(x_i)\) từ đó suy ra tính chất cực trị của các điểm \(x_i\)
Chú ý: nếu \(f”(x_i) = 0\) ta phải áp dụng quy tắc 1 để xét cực trị tại \(x_i\)
Câu a: \(y = x^4 – 2x^2 + 1\)
Xét hàm số \(y = x^4 – 2x^2 + 1\)
Ta có tập xác định D= R.
Đạo hàm của hàm số:
\(y’ = 4x^3 – 4x = 4x(x^2 – 1)\)
\(y’ = 0 ⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} x = 0\\ x = -1 \\x = 1\end{matrix}\)
\(y” = 12×62 – 4\)
Ta có:
Với x = 0; y”(0) = -4 < 0 nên hàm số đạt cực đại tại x = 0 và giá trị cực đại \(y_{cđ} = y(0) = 1\).
Với x = -1 và x = 1; \(y”(-1) = y”(1) = 8 > 0\) cho nên hàm số đạt cực tiểu tại x = ±1 và giá trị cực tiểu \(y_{ct} = y(-1) = y(1) = 0\).
Câu b: \(y = sin2x – x\)
Xét hàm số \(y = sin2x – x\)
Ta có tập xác định D = R
Đạo hàm cấp 1: \(y’ = 2cos2x – 1\).
\(y’ = 0 ⇔ cos2x = \frac{1}{2} ⇔ 2x = ±\frac{π}{3} + k2π\)
\(⇔ x = ±\frac{π}{6} + kπ, k ∈ Z.\)
Đạo hàm cấp hai: \(y” = -4sin2x\)
Ta có:
Với \(x = \frac{π}{6} + kπ\)
\(y”(\frac{π}{6} + kπ) = -4sin(\frac{π}{3} + k2π) = -2\sqrt{3} < 0\) ta có hàm số đạt cực đại tại các điểm \(x = \frac{π}{6} + kπ.\)
Giá trị cực đại là: \(y_{cđ} = sin(\frac{π}{3} + k2π) – \frac{π}{6} – kπ = \frac{\sqrt{3}}{2} – \frac{π}{6} – kπ, k ∈ Z.\)
\(y”(-\frac{π}{6} + kπ) = -4sin(-\frac{3}{2} + k2π) = 2\sqrt{3} > 0\) nên hàm số đạt cực tiểu tại các điểm \(x = -\frac{π}{6} + kπ.\)
Giá trị cực tiểu là: \(y_{ct} = sin(-\frac{π}{3} + k2π) + \frac{π}{6} – kπ = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{π}{6} – kπ, k ∈ Z.\)
Câu c: \(y = sinx + cosx\)
Xét hàm số sau \(y = sinx + cosx\)
Ta có tập xác định D = R
Đạo hàm của hàm số: \(y’ = \cos x – \sin x\).
\(y’ = 0 ⇔ \sin x = \cos x\)
\(⇔ \tan x = 1 ⇔ x = \frac{π}{4} + kπ, k ∈ Z.\)
Đạo hàm cấp 2 của hàm số: \(y” = -\sin x – \cos x.\)
Với \(k = 2m(m ∈ Z)\) ta có:
\(y”(\frac{π}{4} + 2mπ) = -sin\frac{π}{4} – cos\frac{π}{4} = -\sqrt{2} < 0\)
Ta có hàm số đạt cực đại tại các điểm \(x = \frac{π}{4} + 2mπ, m ∈ Z.\)
Với \(k=2m+1 \left ( m \in \mathbb{Z} \right )\) ta có:
\(y”(\frac{π}{4} + (2m + 1)π) = sin\frac{π}{4} + cos\frac{π}{4} = \sqrt{2} > 0\)
Ta có hàm số đạt cực tiểu tại các điểm \(x = \frac{π}{4} + (2m + 1)π, m ∈ Z.\)
Câu d: \(y = x^5 – x^3 – 2x + 1\)
Xét hàm số \(y = x^5 – x^3 – 2x + 1\)
Ta có tập xác định D = R.
Đạo hàm của hàm số: \(y’ = 5x^4 – 3x^2 – 2\)
\(y’ = 0 ⇔ 5x^4 – 3x^2 – 2 = 0 ⇔ x^2 = 1 ⇔ x = ±1.\) (Đặt \(t = x^2 > 0\), giải phương trình bậc hai tìm được \(x^2\)).
Đạo hàm cấp hai của hàm số: \(y” = 20x^3 – 6x.\)
Với x = 1 ta có: y”(1) = 14 > 0 cho nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và giá trị cực tiểu \(y_{ct} = y(1) = -1\).
Với x = -1 ta có: y”(-1) = -14 < 0 cho nên hàm hàm số đạt cực đại tại x = -1 và giá trị cực đại \(y_{cđ} = y(-1) = 3\).
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 2 Trang 18 SGK Giải Tích Lớp 12 Của Bài 2: Cực Trị Của Hàm Số Thuộc Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số Môn Giải Tích Lớp 12. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Giải Tích Lớp 12.
Trả lời