Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số – Giải Tích Lớp 12
Bài 2: Cực Trị Của Hàm Số
Bài Tập 3 Trang 18 SGK Giải Tích Lớp 12
Chứng minh rằng hàm số \(\)\(y = \sqrt{|x|}\) không có đạo hàm tại x = 0 nhưng vẫn đạt cực tiểu tại điểm đó.
Lời Giải Bài Tập 3 Trang 18 SGK Giải Tích 12
– Tính giới hạn trái, giới hạn phải của \(\frac{f(x) – f(x_0)}{x – x_0}\) khi \(x → x_0\), từ đó suy ra không tồn tại đạo hàm tại \(x = x_0\).
– Chứng minh \(f(x) ≥ f(0)\) với mọi x ∈ R.
Ta có: \(y = f(x) = \sqrt{|x|} = \begin{cases}\sqrt{x} \, \, khi \, \, x ≥ 0\\\sqrt{-x} \, \, khi \, \, x < 0\end{cases}\)
\(\mathop {\lim}\limits_{0^+}\frac{f(x) – f(0)}{x – 0} = \mathop {\lim}\limits_{x → 0^+}\frac{\sqrt{x}}{x} = \mathop {\lim}\limits_{x → 0^+}\frac{1}{\sqrt{x}} = + ∞\)
\(\mathop {\lim}\limits_{x → 0^-}\frac{f(x) – f(0)}{x – 0} = \mathop {\lim}\limits_{x → 0^-}\frac{\sqrt{-x}}{x}\)
\(= \mathop {\lim}\limits_{x → 0^-}\frac{\sqrt{-x}}{-(\sqrt{-x})^2} = \mathop {\lim}\limits_{x → 0^-}\frac{-1}{\sqrt{-x}} = -∞\)
\(⇒ \mathop {\lim}\limits_{x → 0^+}\frac{f(x) – f(0)}{x – 0} ≠ \mathop {\lim}\limits_{x → 0^-}\frac{f(x) – f(0)}{x – 0}\)
⇒ Không tồn tại đạo hàm của hàm số đã cho tại x = 0.
Dễ thấy \(f(x) = \sqrt{|x|} ≥ 0\) với mọi x ∈ R và f(0) = 0 nên x = 0 chính là điểm cực tiểu của hàm số.
Trước khi giải bài 3 trang 18 sgk này, các em cùng nhắc lại định nghĩa về cực trị:
Cho hàm số \(\)\(y = f(x)\) liên tục trên khoảng (a; b) và điểm \(x_0 ∈ (a; b)\):
Hàm số \(f(x)\) đạt cực đại tại \(x_0\) nếu \(f(x_0) > f(x) ∀x ∈ (x_0 – h, x_0 + h) \ {x_0}, h > 0.\)
Hàm số \(f(x)\) đạt cực tiểu tại \(x_0\) nếu \(f(x_0) > f(x) ∀x ∈ (x_0 – h, x_0 + h) \ {x_0}, h > 0\).
Xét hàm số sau: \(y = \sqrt{|x|}\)
Ta có tập xác định: D = R
Như vậy chứng minh hàm số không có đạo hàm tại x = 0, ta chỉ cần chứng minh như sau \(\mathop {\lim}\limits_{x → -∞}\frac{f(x) – f(0)}{x – 0}\) không hữu hạn.
Ngược lại để điều này xảy ra ta chỉ cần chứng minh \(\mathop {\lim}\limits_{x → 0^+}\frac{f(x) – f(0)}{x – 0}\) hoặc \(\mathop {\lim}\limits_{x → 0^-}\frac{f(x) – f(0)}{x – 0}\) không hữu hạn.
Thật vây:
\(\mathop {\lim}\limits_{x → 0^+}\frac{f(x) – f(0)}{x – 0} = \mathop {\lim}\limits_{x → 0^+}\frac{\sqrt{x}}{x} = \mathop {\lim}\limits_{x → 0^+}\frac{1}{\sqrt{x}} = +∞.\)
Như vậy hàm số không có đạo hàm tại x = 0.
Chứng minh hàm số có cực trị tại x = 0.
Xét hàm số sau: \(y = \sqrt{|x|}\)
Ta có đạo hàm: \(y’ = \frac{|x’|}{2\sqrt{|x|}} = \begin{cases}\frac{1}{2\sqrt{x}}, x > 0\\-\frac{1}{2\sqrt{-x}}, x < 0\end{cases}\)
Dễ thấy y’ không xác định tại x = 0.
Xét dấu y’:
Vậy ta có hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 3 Trang 18 SGK Giải Tích Lớp 12 Của Bài 2: Cực Trị Của Hàm Số Thuộc Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số Môn Giải Tích Lớp 12. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Giải Tích Lớp 12.
Trả lời