Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số – Giải Tích Lớp 12
Bài 2: Cực Trị Của Hàm Số
Bài Tập 1 Trang 18 SGK Giải Tích Lớp 12
Áp dụng Quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:
a. \(\)\(y = 2x^3 + 3x^2 – 36x – 10\)
b. \(y = x^4 + 2x^2 – 3\)
c. \(y = x + \frac{1}{x}\)
d. \(y = x^3(1 – x)^2\)
e. \(y = \sqrt{x^2 – x + 1}\)
Lời Giải Bài Tập 1 Trang 18 SGK Giải Tích Lớp 12
Câu a: \(y = 2x^3 + 3x^2 – 36x – 10\)
Phương pháp giải: Quy tắc 1 tìm cực trị của hàm số:
Bước 1: Tìm tập xác định.
Bước 2: Tính f'(x). Tìm các điểm mà tại đó f'(x) bằng 0 hoặc f'(x) không xác định.
Bước 3: Lập bảng biến thiên.
Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Giải:
Tập xác định: D = R
\(y’ = 6x^2 + 6x – 36; y’ = 0\)
\(⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} x = 2 ⇒ y = -54\\ x = -3 ⇒ y = 71 \end{matrix}\)
\(y’ < 0 ⇔ x ∈ (-3; 2)\)
\(y’ > 0 ⇔ x ∈ (-∞; -3) ∪ (2; +∞)\)
\(\mathop {\lim}\limits_{x → -∞}y = -∞; \mathop {\lim}\limits_{x → +∞}y = +∞\)
Bảng biến thiên:
Hàm số đạt cực đại tại \(x = -3\) và \(y_{cđ} = 71\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2\) và \(y_{ct} = -54\)
Câu b: \(y = x^4 + 2x^2 – 3\)
Tập xác định: D = R
\(y’ = 4x^3 + 4x = 4x(x^2 + 1)\)
\(y’ = 0 ⇔ x = 0 ⇒ y = -3\)
\(y’ > 0 ⇒ x > 0\)
\(y’ < 0 ⇒ x < 0\)
\(\mathop {\lim}\limits_{x → -∞}y = +∞; \mathop {\lim}\limits_{x → +∞}y = +∞\)
Bảng biến thiên:
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0\) và \(y_{ct} = -3\)
Câu c: \(y = x + \frac{1}{x}\)
Tập xác định: D = R \ {0}
\(y’ = 1 – \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 – 1}{x^2}; y’ = 0\)
\(⇔ x^2 – 1 = 0 ⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} x = 1 ⇒ y = 2\\ x = -1 ⇒ y = -2 \end{matrix}\)
\(y’ < 0 ⇔ x ∈ (-1; 1)\)
\(y’ > 0 ⇔ x ∈ (-∞; -1) ∪ (1; +∞)\)
\(\mathop {\lim}\limits_{x → -∞}y = -∞; \mathop {\lim}\limits_{x → +∞}y = +∞\)
\(\mathop {\lim}\limits_{x → 0^-}y = -∞; \mathop {\lim}\limits_{x → 0^+}y = +∞\)
Bảng biến thiên:
Hàm số đạt cực đại tại \(x = -1, y_{cđ} = -2\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1, y_{ct} = 2\)
Câu d: \(y = x^3(1 – x)^2\)
Tập xác định: D = R
\(y’ = (x^3′)(1 – x)^2 + x^3[(1 – x)^2]’\)
\(= 3x^2(1 – x)^2 + x^3.2(1 – x)(1 – x)’\)
\(= 3x^2(1 – x)^2 + 2x^3(1 – x)(-1)\)
\(= 3x^2(1 – x)^2 – 2x^3(1 – x)\)
\(= x^2(1 – x)[3(1 – x) – 2x]\)
\(= x^2(1 – x)(3 – 3x – 2x)\)
\(= x^2(1 – x)(3 – 5x)\)
\(y’ = 0 ⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} x = 1 ⇒ y = 0\\x = \frac{3}{5} ⇒ y = \frac{108}{3125}\\ x = 0 ⇒ y = 0 \end{matrix}\)
\(y’ < 0 ⇔ x ∈ (\frac{3}{5}; 1)\)
\(y’ > 0 ⇔ x ∈ (-∞; \frac{3}{5}) ∪ (1; +∞)\)
\(\mathop {\lim}\limits_{x → -∞}y = -∞; \mathop {\lim}\limits_{x → +∞}y = +∞\)
Bảng biến thiên:
Hàm số đạt cực đại tại \(x = \frac{3}{5}; y = \frac{108}{3125}\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1, y_{ct} = 0\)
Câu e: \(y = \sqrt{x^2 – x + 1}\)
Vì \(x^2 – x + 1 > 0\), ∀ ∈ R nên tập xác định: D = R
\(y’ = \frac{2x – 1}{2\sqrt{x^2 – x + 1}}; y’ = 0 ⇔ x = \frac{1}{2} ⇒ y = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(y’ > 0 ⇔ x > \frac{1}{2}; y’ < 0 ⇔ x < \frac{1}{2}\)
\(\mathop {\lim}\limits_{x → -∞}y = +∞, \mathop {\lim}\limits_{x → +∞}y = +∞\)
Bảng biến thiên:
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = \frac{1}{2}; y_{ct} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
Để giải bài 1 trang 18 sgk này các bạn cần ôn lại các bước tìm cực trị bằng quy tắc 1:
Bước 1: Ta cần tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Tính \(f'(x)\). Tìm các điểm tại đó\(f'(x) = 0\) hoặc \(f'(x)\) không xác định.
Bước 3: Lập bảng biến thiên.
Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Câu a: \(y = 2x^3 + 3x^2 – 36x – 10\)
Xét hàm số sau \(y = 2x^3 + 3x^2 – 36x – 10\)
Ta có tập xác định: D = R
Ta có đạo hàm như sau: \(y’ = 6x^2 + 6x – 36\)
\(y’ = 0 ⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} x = 2\\ x = -3 \end{matrix}\)
Với x = 2 ta có y = -54.
Với x = -3 ta có y = 71.
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có cực trị như sau:
Ta có hàm số đạt cực đại tại x =-3, giá trị cực đại \(y_{cđ} = y(-3) = 71.\)
Ta có hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 , giá trị cực tiểu \(y_{ct} = y(2) = -54.\)
Câu b: \(y = x^4 + 2x^2 – 3\)
Xét hàm số \(y = x^4+ 2x^2 – 3\)
Ta có tập xác định: D = R.
Đạo hàm của hàm số ta có: \(y’ = 4{x^3} + 4x = 4x(x^2 + 1)\)
\(y’ = 0 ⇔ x = 0\)
Với x = 0 ta có y = -3.
Bảng biến thiên của hàm số như sau:
Từ bảng biến thiên ta có cực trị như sau:
Ta có hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, giá trị cực tiểu \(y_{ct} = y(0)= -3\)
Câu b không có cực đại.
Câu c: \(y = x + \frac{1}{x}\)
Xét hàm số \(y = x + \frac{1}{x}\)
Ta có tập xác định: D = R \ {0}
\(y’ = 1 – \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 – 1}{x^2} = \frac{(x – 1)(x + 1)}{x^2}\)
\(y′ = 0 ⇔ (x – 1)(x + 1) = 0 ⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} x = -1\\ x = 1 \end{matrix}\)
- Với x = 1 ta có y = 2.
- Với x = -1 ta có y = -2.
Bảng biến thiên của hàm số như sau:
Từ bảng biến thiên ta có cực trị như sau:
Ta có hàm số đạt cực đại tại x = -1, giá trị cực đại \(y_{cđ} = y(-1) = -2\)
Ta có hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, giá trị cực tiểu \(y_{ct} = y(1) = 2\)
Câu d: \(y = x^3(1 – x)^2\)
Xét hàm số \(y = x^3(1 – x)^2\)
Ta có tập xác định: D = R
Đạo hàm của hàm số: \(y’ = 3x^2(1 – x)^2 – 2x^3(1 – x) = x^2(1 – x)(3 – 5x)\)
\(y’ = 0 ⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} x = 1\\ x = \frac{3}{5}\\x = 0 \end{matrix}\)
Với \(x = 1\) ta có \(y = 0.\)
Với \(x = \frac{3}{5}\) ta có \(y = \frac{108}{3125}.\)
Với x = 0 ta có y = 0.
Bảng biến thiên của hàm số như sau:
Từ bảng biến thiên ta có cực trị như sau:
Ta có hàm số đạt cực đại tại \(x = \frac{3}{5}\), và giá trị cực đại \(y_{cđ} = y(\frac{3}{5})\frac{108}{3125}\)
Ta có hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, và giá trị cực tiểu \(y_{ct} = y(1) = 0\)
Câu e: \(y = \sqrt{x^2 – x + 1}\)
Xét hàm số \(y = \sqrt {x^2 – x + 1}\)
Ta có tập xác định: D = R.
Đạo hàm của hàm số ta được:
\(y’ = \frac{2x – 1}{2\sqrt{x^2 – x + 1}}\)
\(y’ = 0 ⇔ 2x – 1 = 0 ⇔ x = \frac{1}{2}\)
Với \(x = \frac{1}{2}\) ta có \(y = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
Bảng biến thiên của hàm số như sau:
Từ bảng biến thiên ta có cực trị như sau:
Hàm số chỉ đạt cực tiểu tại \(x = \frac{1}{2}\), giá trị cực tiểu \(y_{ct} = y(\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 1 Trang 18 SGK Giải Tích Lớp 12 Của Bài 2: Cực Trị Của Hàm Số Thuộc Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số Môn Giải Tích Lớp 12. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Giải Tích Lớp 12.
Trả lời