Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số – Giải Tích Lớp 12
Bài 1: Sự Đồng Biến, Nghịch Biến Của Hàm Số
Bài Tập 4 Trang 10 SGK Giải Tích Lớp 12
Chứng minh rằng hàm số \(\)\(y = \sqrt{2x – x^2}\) đồng biến trên khoảng \((0; 1)\) và nghịch biến trên khoảng \((1; 2)\).
Lời Giải Bài Tập 4 Trang 10 SGK Giải Tích 12
– Tính đạo hàm của hàm số. Tìm các điểm \(x_i (I = 1, 2, 3,…, n)\) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định
– Xét dấu đạo hàm và kết luận khoảng đồng biến nghịch biến.
Điều kiện: \(2x – x^2 ≥ 0 ⇔ x(x – 2) ≤ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 2\).
Tập xác định: D = [0; 2]
Có \(y’ = \frac{2 – 2x}{2\sqrt{2x – x^2}} = \frac{1 – x}{\sqrt{2x – x^2}}, ∀x ∈ (0; 2)\)
\(⇒ y’ = 0 ⇔ 1 – x = 0 ⇔ x = 1\)
\(y’ > 0 ⇔ 1 – x > 0 ⇔ x < 1\) nên hàm số đồng biến trên khoảng \((0; 1)\).
\(y’ < 0 ⇔ 1 – x < 0 ⇔ x > 1\) nên hàm số nghịch biến trên khoảng \((1; 2)\).
Ở bài toán này ta xét sự đồng biến và nghịch biến của hàm số ta thực hiện bốn bước sau:
Bước 1: Cần tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Tính đạo của hàm số \(f'(x) = 0\). Tìm các điểm \(x_i (i= 1 , 2 ,…, n)\) sao cho đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
Bước 3: Cần sắp xếp các điểm \(x_i\) theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
Bước 4: Cuối cùng là nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Xét hàm số \(y = \sqrt{2x – x^2}\)
Ta có tập xác định: D = [0; 2]
\(y’ = \frac{2 – 2x}{2\sqrt{2x – x^2}} = \frac{1 – x}{\sqrt{2x – x^2}}\)
\(y’ = 0 ⇔ x = 1.\)
Bảng biến thiên của hàm số:
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy:
Ta có hàm số đồng biến trên khoảng (0; 1), nghịch biến trên khoảng (1; 2).
Như vậy ta có điều cần phải chứng minh.
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 4 Trang 10 SGK Giải Tích Lớp 12 Của Bài 1: Sự Đồng Biến, Nghịch Biến Của Hàm Số Thuộc Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số Môn Giải Tích Lớp 12. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Giải Tích Lớp 12.
Trả lời