Chương III: Dãy Số, Cấp Số Cộng Và Cấp Số Nhân – Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Bài 1: Phương Pháp Quy Nạp Toán Học
Bài Tập 3 Trang 82 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(\)\(n ≥ 2\), ta có các bất đẳng thức:
a. \(3^n > 3n + 1\)
b. \(2^{n + 1} > 2n + 3\)
Lời Giải Bài Tập 3 Trang 82 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Câu a: \(3^n > 3n + 1\)
Phương pháp giải:
Vận dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học.
Bước 1: Chứng minh mệnh đề đúng với \(n = 2\).
Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng đến \(n = k ≥ 2\) (giả thiết quy nạp). Chứng minh đẳng thức đúng đến \(n = k + 1\).
Khi đó đẳng thức đúng với mọi \(n ∈ N^*\).
Giải:
Với \(n = 2\) ta có: \(3^2 = 9 > 7 = 3.2 + 1\) (đúng)
Giả sử bất đẳng thức đúng với \(n = k ≥ 2\), tức là \(3^k > 3k + 1\) (1).
Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1\), tức là cần chứng minh: \(3^{k + 1} > 3(k + 1) + 1 = 3k + 4\).
Nhân hai vế của (1) với 3, ta được:
\(3^{k + 1} > 9k + 3\)
\(⇔ 3^{k + 1} > 3k + 4 + 6k – 1\)
Vì \(k ≥ 2 ⇒ 6k – 1 ≥ 11 > 0\) nên \(3^{k + 1} > 3k + 4 + 11 > 3k + 4 = 3(k + 1) + 1\).
Tức là bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1\).
Vậy \(3^n > 3n + 1\) với mọi số tự nhiên \(n ≥ 2\).
Câu b: \(2^{n + 1} > 2n + 3\)
Với \(n = 2\) thì \(2^{2 + 1} = 8 > 7 = 2.2 + 3\) (đúng)
Giả sử bất đẳng thức đúng với \(n = k ≥ 2\), tức là \(2^{k + 1} > 2k + 3\) (2)
Ta phải chứng minh nó cũng đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là phải chứng minh \(2^{k + 2} > 2(k + 1) + 3 ⇔ 2^{k + 2} > 2k + 5\).
Nhân hai vế của bất đẳng thức (2) với 2, ta được:
\(2^{k + 2} > 4k + 6\)
\(⇔ 2^{k + 2} > 2k + 5 + 2k + 1\)
Vì \(k ≥ 2 ⇒ 2k + 1 > 0\) nên \(2^{k + 2} > 2k + 5\)
Tức là bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1\).
Vậy theo phương pháp quy nạp toán học thì bất đẳng thức \(2^{n + 1} > 2n + 3\) đúng với mọi số tự nhiên \(n ≥ 2\).
Cách khác:
– Với \(n = 2\) thì bất đẳng thức ⇔ 8 > 7 (luôn đúng).
– Giả sử bất đẳng thức đúng khi \(n = k ≥ 2\), nghĩa là \(2^{k + 1} > 2k + 3\).
Ta chứng minh đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh: \(2^{k + 2} > 2(k + 1) + 3\).
Thật vậy, ta có:
\(2^{k + 3} = 2.2^{k + 1}\)
\(⇒ 2.(2k + 3) = 4k + 6 = 2k + 2 + 2k + 4.\)
\(⇒ 2k + 2 + 3 = 2.(k + 1) + 3\)
(Vì \(2k + 4 > 3\) với mọi \(k ≥ 2\))
⇒ (2) đúng với \(n = k + 1\).
Vậy \(2^{k + 1} > 2n + 3\) với mọi \(n ≥ 2\).
Câu a: \(3^n > 3n + 1\)
\(3^n > 3n + 1\) (1)
– Với \(n = 2\) thì (1) \(⇔ 8 > 7\)
– Giả thiết mệnh đề (1) đúng khi
\(n = k ≥ 2\), nghĩa là \(3^k > 3k + 1\)
Ta sẽ chứng minh (1) đúng khi \(n = k + 1\) nghĩa là chứng minh:
\(3^{k + 1} = 3.3^k > 3(3k + 1)\) (theo giả thiết)
\(3(3k + 1) = 9k + 3 = 3(k + 1) + 6k > 3(k + 1)\) ( vì k > 2).
Vậy \(3^{k + 1} > 3(k + 1) + 1.\)
Mệnh đề đúng với \(n = k + 1\), do đó đúng với môi \(n ≥ 2\).
Câu b: \(2^{n + 1} > 2n + 3\)
– Với \(n = 2\), ta có: \(2^3 = 8 > 2.2 + 3 = 7\)
Vậy mệnh đề đúng khi \(n = 2\)
– Giải thiết mệnh đề đúng khi \(n = k ≥ 2\), nghĩa là \(2^{k + 1} > 2k + 3 (2)\)
– Ta sẽ chứng mình (1) đúng khi \(n = k + 1\) nghĩa là chứng minh
\(2^{[(k + 1) + 1]} > 2(k + 1) + 3\) hay \(2^{k + 2} > 2k + 5\)
Nhân hai về của (2) cho 2, ta được:
\(2^{k + 1}.2 = 2^{k + 2} > 2(2k + 3) = 4k + 6 = 2k + (2k + 6) (3)\)
mà \(k ≥ 2 ⇒ 2k + 6 = 2.2 + 6 = 10 > 5\)
\((3) ⇒ 2^{k + 2} > 2k + 5 ⇒ (2)\)
Mệnh đề đúng với \(n = k + 1\) nên cũng đúng \(∀n ∈ ℕ^*\)
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 3 Trang 82 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11 Của Bài 1: Phương Pháp Quy Nạp Toán Học Thuộc Chương III: Dãy Số, Cấp Số Cộng Và Cấp Số Nhân Môn Đại Số Và Giải Tích Lớp 11. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Đại Số Và Giải Tích Lớp 11.
Trả lời