Chương I: Khối Đa Diện – Hình Học Lớp 12
Bài 3: Khái Niệm Về Thể Tích Của Khối Đa Diện
Bài Tập 1 Trang 25 SGK Hình Học Lớp 12
Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a.
Lời Giải Bài Tập 1 Trang 25 SGK Hình Học 12
– Do tứ diện ABCD đều, chứng minh H là trọng tâm tam giác ABC.
– Sử dụng định lý Pytago tính độ dài AH.
– Áp dụng công thức tính thể tích: \(V_{ABCD} = \frac{1}{3}AH.S_{BCD}\)
Cho tứ diện đều ABCD. Hạ AH ⊥ (BCD)
Dễ dàng chứng minh được \(ΔV_{AHB} = ΔV_{AHC} = ΔV_{AHD} (ch – cgv)\)
⇒ HB = HC = HD, do đó H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD.
Do BCD là tam giác đều nên H là trọng tâm của tam giác BCD.
Gọi M là trung điểm CD thì BM vừa là trung tuyến vừa là đường cao trong tam giác.
Ta có: \(BM = BDsin60^0 = \frac{a\sqrt{3}}{2}\)
Do đó \(BH = \frac{2}{3}BM = \frac{2}{3}.\frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{3}a\)
Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông ABH ta có:
\(AH^2 = AB^2 – BH^2 = a^2 – \frac{a^2}{3} = \frac{2a^2}{3} ⇒ AH = \frac{a\sqrt{6}}{3}\)
Do tam giác BCD đều cạnh a nên: \(S_{BCD} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\)
Vậy \(V_{ABCD} = \frac{1}{3}AH.S_{BCD} = \frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{6}}{3}.\frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}\)
Cách giải khác
Cho tứ diện đều ABCD.
Hạ đường cao AH của tứ diện thì do các đường xiên AB, AC, AD bằng nhau nên các hình chiếu của chúng: HB, HC, HD bằng nhau. Do BCD là tam giác đều nên H là trọng tâm của tam giác BCD.
Do đó \(\)\(BH = \frac{2}{3}.\frac{\sqrt{3}}{2}.a = \frac{\sqrt{3}}{3}a\)
Từ đó suy ra \(AH^{2} = a^{2} – BH^{2} = \frac{6}{9}a^{2}\)
Nên \(AH = \frac{\sqrt{6}}{3}a\)
Thể tích tứ diện đó \(V= \frac{1}{3}.\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}.a^{2}.\frac{\sqrt{6}}{3}a = a^{3}\frac{\sqrt{2}}{12}\)
Cách giải khác
Gọi tứ diện có cạnh a là ABCD.
Từ a vẽ đường cao AH. Ta có: H ∈ (BCD)
Vì ABCD là tứ diện đều nên:
ΔABH = ΔACH = ΔADH
⇒ HB = HC = HD
Suy ra H là trọng tâm cũng đồng thời là tâm của tam giác đều BCD.
Khi đó \(BH = \frac{2}{3}.\frac{\sqrt{3}}{2}.a = \frac{a\sqrt{3}}{3}\)
và \(AH = \sqrt{a^2 – BH^2} = a\sqrt{\frac{2}{3}}\)
Vậy thể tích tứ diện đều ABCD cạnh bằng a là:
\(V = \frac{1}{3}.S_{ΔBCD}.AH = \frac{1}{3}.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.a\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}\)
Trên là lời giải chi tiết bài tập 1 trang 25 sgk hình học lớp 12 trong bài 3 khái niệm về thể tích khối đa diện. Bài tập giúp bạn tính thể tích tứ diện đó.
Trả lời