Chương I: Khối Đa Diện – Hình Học Lớp 12
Bài 3: Khái Niệm Về Thể Tích Của Khối Đa Diện
Bài Tập 5 Trang 26 SGK Hình Học Lớp 12
Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB = a. Trên đường thẳng qua C và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho CD = a. Mặt phẳng qua C vuông góc với SD, cắt BD tại F và cắt AD tại E. Tình thể tích khối tứ diện CDEF theo a.
Lời Giải Bài Tập 5 Trang 26 SGK Hình Học 12
– Chứng minh tam giác CEF vuông tại \(E ⇒ S_{CEF} = \frac{1}{2}EF.EC\)
– \(V_{CDEF} = \frac{1}{3}DF.S_{CEF} = \frac{1}{3}DF.\frac{1}{2}EF.EC = \frac{1}{6}DF.EF.EC\)
– Sử dụng định lí Pitago và các hệ thức lượng trong tam giác vuông tính CE, EF và DF.
\(\left.\begin{matrix} BA ⊥ CD \\ BA ⊥ CA \end{matrix}\right\} ⇒ BA ⊥ (ADC) ⇒ BA ⊥ CE\)
Mặt khác BD ⊥ (CEF) ⇒ BD ⊥ CE
Từ đó suy ra
CE ⊥ (ABD) ⇒ CE ⊥EF, CE ⊥ AD
Vì tam giác ACD vuông cân, AC = CD = a nên \(AD = \sqrt{AC^2 + CD^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}\)
Suy ra \(CE = \frac{AD}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}\)
Ta có \(BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}\)
\(BD = \sqrt{BC^2 + CD^2} = \sqrt{2a^2 + a^2} = a\sqrt{3}\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông BCD ta có: CF.BD.DC.BC nên \(CF = \frac{DC.BC}{BC} = \frac{a.a\sqrt{2}}{a\sqrt{3}}\)
Từ đó suy ra
\(EF = \sqrt{CF^2 – CE^2} = \sqrt{\frac{2}{3}a^2 – \frac{a^2}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{6}a\)
\(DF = \sqrt{DC^2 – CF^2} = \sqrt{a^2 – \frac{2}{3}a^2} = \frac{\sqrt{3}}{3}a\)
Từ đó suy ra \(S_{ΔCEF} = \frac{1}{2}FE.EC = \frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{6}}{6}.\frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{12}\)
Vậy \(V_{D.CEF} = \frac{1}{3}S_{ΔCEF}.DF=\frac{1}{3}.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{12}.\frac{a\sqrt{3}}{3} = \frac{a^{3}}{36}.\)
Cách giải khác
\(\)\(\left.\begin{matrix} BA ⊥ CD \\ BA ⊥ CA \end{matrix}\right\} ⇒ BA ⊥ (ADC) ⇒ BA ⊥ CE ⇒ BA ⊥ (ADC) ⇒ BA ⊥ CE\)Mặt khác BD ⊥ (CEF) => BD ⊥ CE.
Từ đó suy ra
CE ⊥ (ABD) ⇒ CE ⊥ EF, CE ⊥ AD.
Vì tam giác ACD vuông cân, AC= CD= a nên \(CE = \frac{AD}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}\)
Ta có \(BC = a\sqrt{2}\), \(BD = \sqrt{2a^{2}+a^{2}} = a\sqrt{3}\)
Để ý rằng CF.BD = DC.BC nên \(CF = \frac{a^{2}\sqrt{2}}{a\sqrt{3}} = a\sqrt{\frac{2}{3}}\)
Từ đó suy ra
\(EF = \sqrt{CF^{2}-CE^{2}} = \sqrt{\frac{2}{3}a^{2}-\frac{a^{2}}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{6}a\).
\(DF = \sqrt{DC^{2}-CF^{2}} = \sqrt{a^{2}-\frac{2}{3}a^{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3}a\).
Từ đó suy ra \(S_{ΔCEF} = \frac{1}{2}FE.EC = \frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{6}}{6}.\frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{12}\)
Vậy \(V_{D.CEF} = \frac{1}{3}S_{ΔCEF}.DF=\frac{1}{3}.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{12}.\frac{a\sqrt{3}}{3} = \frac{a^{3}}{36}.\)
Cách giải khác
Ta có: \(\begin{cases}BA ⊥ CD\\Ba ⊥ CA\end{cases}\)
⇒ BA ⊥ (ADC) ⇒ BA ⊥ CE (1)
Mặt khác: BD ⊥ (CEF) (giả thiết) ⇒ BD ⊥ CE (2)
Vậy CE ⊥ EF, CE ⊥ AD
Tam giác ACD vuông cân ở C và CA = CD = a
Suy ra \(CE = \frac{AD}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}\)
\(BC = 2\sqrt{2}, BD = \sqrt{EC^2 + CD^2} = \sqrt{2a^2 + a^2} = a\sqrt{3}\)
Tam giác BCD vuông ở C và có đường cao CF nên
\(CF.BD = DC.BC ⇔ CF = \frac{DC.BC}{BD} = \frac{a^2\sqrt{2}}{a\sqrt{3}} = a\sqrt{\frac{2}{3}}\)
Ta có: \(\begin{cases}EF = \sqrt{CF^2 – CE^2} = \sqrt{\frac{2}{3}a^2 – \frac{a^2}{2} = a\frac{\sqrt{6}}{6}}\\DF = \sqrt{DC^2 – CF^2} = \sqrt{a^2 – \frac{2}{3}a^2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}\\S_{ΔCEF} = \frac{1}{2}CE.EF = \frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{2}}{2}.\frac{a\sqrt{6}}{6} = \frac{a^2\sqrt{3}}{12}\end{cases}\)
Vậy thể tích của khối tứ diện DCEF là:
\(V = \frac{1}{3}.S_{ΔCEF}.DF = \frac{1}{3}.\frac{a^2\sqrt{3}}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{3} = \frac{a^2}{36}\)
Bài giải bài tập 5 trang 26 sgk hình học lớp 12 bài 3 khái niệm về thể tích của khối đa diện. Xem các bài tập đã có lời giải liên quan bên dưới.
Trả lời