Chương I: Khối Đa Diện – Hình Học Lớp 12
Bài 3: Khái Niệm Về Thể Tích Của Khối Đa Diện
Bài Tập 2 Trang 25 SGK Hình Học Lớp 12
Tính thể tích khối bát diện đều cạnh a.
Lời Giải Bài Tập 2 Trang 25 SGK Hình Học 12
– Xác định chiều cao và áp dụng công thức tính thể tích khối chóp: \(\)\(V = \frac{1}{3}h.S_d\)
Chia khối tám mặt đều cạnh a thành hai khối chóp tứ giác đều cạnh a là E.ABCD và F.ABCD.
Xét chóp tứ giác đều E.ABCD. Gọi H là tâm hình vuông ABCD ta có: EH ⊥ (ABCD).
Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên \(AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}\)
\(⇒ AH = \frac{1}{2}AC = \frac{a\sqrt{2}}{2}\)
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông EHA có: \(EH^2 = EA^2 – AH^2 = a^2 – (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{a^2}{2}\)
\(⇒ EH = \frac{a\sqrt{2}}{2}\)
\(⇒ V_{E.ABCD} = \frac{1}{3}EH.S_{ABCD} = \frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{2}}{2}.a^2 = \frac{a^3\sqrt{2}}{6}\)
Vậy thể tích khối tám mặt đều cạnh a là: \(V = 2.V_{E.ABCD} = \frac{a^3\sqrt{2}}{3}\)
Chú ý: Hình chóp đa giác đều có hình chiếu của đỉnh trên mặt đáy trùng với tâm mặt đáy.
Cách giải khác
Chia khối tám mặt đều cạnh a thành hai khối chóp tứ giác đều cạnh a.
Gọi h là chiều cao của khối chóp thì dễ thấy
\(h^2 = a^2 – (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{a^2}{2}\) nên \(h = \frac{a\sqrt{2}}{2}\)
Từ đó thể tích khối tám mặt đều cạnh a là:
\(V = 2.\frac{1}{3}.\frac{\sqrt{2}}{2}a.a^2 = a^3\frac{\sqrt{2}}{3}\)
Cách giải khác
Khối bát diện đều gồm hai khối chóp tứ giác đều bằng nhau. Trong hình bên, SO là chiều cao của khối chóp S.ABCD.
Khi đó \(SO = \sqrt{SA^2 – OA^2}\)
Vì bát diện đều có cạnh a nên
\(SO = \sqrt{a^2 – (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}\)
Vậy thể tích của khối tám mặt đều cạnh a là:
\(V = 2.V_{S.ABCD} = 2.\frac{1}{3}.S_{ABCD}.SO\)
\(= \frac{2}{3}.a^2.\frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a^3\sqrt{2}}{3}\)
Trên là bài giải chi tiết bài tập 2 trang 25 sgk hình học lớp 12. Lời giải giúp bạn tìm đáp án tính thể tích bát diện đều cạnh a.
Trả lời