Chương I: Khối Đa Diện – Hình Học Lớp 12
Bài 3: Khái Niệm Về Thể Tích Của Khối Đa Diện
Bài Tập 6 Trang 26 SGK Hình Học Lớp 12
Cho hai đường thẳng chéo nhau d và d’. Đoạn thẳng AB có độ dài a trượt trên d, đoạn thẳng CD có độ dài B trượt trên d’. Chứng minh rằng khối tứ diện ABCD có thể tích không đổi.
Lời Giải Bài Tập 6 Trang 26 SGK Hình Học 12
Gọi h là độ dài đường vuông góc chung của d và d’, α là góc giữa hai đường thẳng d và d’. Qua B, A, C dựng hình bình hành BACF. Qua A, C, D dựng hình bình hành ACDE.
Khi đó CFD.ABE là một hình lăng trụ tam giác. Ta có:
\(V_{D.ABE} + V_{D.BACF} = V_{CFD.ABE}\)
\(V_{D.ABE} = \frac{1}{3}V_{CFD.ABE} ⇒ V_{D.BACF} = \frac{2}{3}V_{CFD.ABE}\)
\(V_{D.ABC} = \frac{1}{2}V_{D.BACF} ⇒ V_{D.ABC} = \frac{1}{2}.\frac{2}{3}V_{CFD.ABE} = \frac{1}{3}V_{CFD.ABE}\)
Kẻ AH ⊥ (CDF) ta có: \(V_{ABCD} = \frac{1}{3}.V_{CFD.ABE} = \frac{1}{3}.aH.S_{CDF}\)
Ta có:
AB // CF ⇒ AB // (CDF) ⊃ CD
⇒ d(d; d’) = d(AB; CD) = d(AB; (CDF))
= d(A; (CDF)) = AH = h
\(AB // CD ⇒ (\widehat{d; d’}) = (\widehat{AB: CD}) = (\widehat{CF; CD}) = \widehat{DCF} = α\)
\(⇒ S_{CDF} = \frac{1}{2}.CD.CF.sin\widehat{DCF} = \frac{1}{2}absinα\)
Vậy \(V_{ABCD} = \frac{1}{3}.h.\frac{1}{2}absinα = \frac{1}{6}.h.ab.sinα = const. (đpcm)\)
Cách giải khác
Gọi khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau d, d’ và góc của d và d’ là \(\)\(φ.\)
Trong mặt phẳng (ABC) dựng hình bình hành CBAA’.
Ta có AA’//BC nên \({V_{ABCD}} = {V_{A’BCD}}\)
Gọi MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD (M ∈ AB, N ∈ CD)
Vì BM // CA’ nên \({V_{BA’CD}} = {V_{MA’CD}}\)
Ta có MN ⊥ AB nên MN ⊥ CA’, hơn nữa MN ⊥ CD.
Do đó MN ⊥ (CDA’)
Chú ý rằng: \(\widehat {( {AB,CD}} = \widehat {( {AC’,CD} )} = φ \)
Nên \({V_{M.A’CD}} = \frac{1}{3}.{S_{A’CD}}.MN = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}.CA’.CD.\sin φ .MN = \frac{1}{6}a.b.h.\sinφ \)
\( ⇒{V_{ABCD}} = \frac{1}{6}a.b.h.\sinφ.\)
Cách giải khác
Gọi h là khoảng cách từ d đến d’ và α là góc tạo bởi d và d’.
Lần lượt vẽ hai hình bình hành BACF và ACDE.
Ta có ABE.CFE là một lăng trụ tam giác có chiều cao bằng h và \(α = \widehat{BAE}\) nếu \(\widehat{BAE} ≤ 90^0\)
hoặc \(α = 180^0 – \widehat{BAE}\) nếu \(\widehat{BAE} < 90^0\)
Mặt khác: AE = CD = b
Ta có: \(V_{ABCD} = V_{D.ABE} = \frac{1}{3}V_{ABE.CFD} = \frac{1}{3}.S_{ΔABE}.h\)
\(= \frac{1}{3}.\frac{1}{2}.AB.AE.sin\widehat{BAE}\)
\(= \frac{1}{6}.h.ab.sinα\) (không đổi)
Chi tiết lời giải bài tập 6 trang 26 sgk hình học lớp 12 bài 3 chương I. Bài giải giúp các em học sinh bám sát vào chương trình học của chương.
Trả lời