Chương I: Khối Đa Diện – Hình Học Lớp 12
Bài 3: Khái Niệm Về Thể Tích Của Khối Đa Diện
Bài Tập 3 Trang 25 SGK Hình Học Lớp 12
Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Tính thể tích của khối hộp đó và thể tích của khối tứ diện ACB′D′.
Lời Giải Bài Tập 3 Trang 25 SGK Hình Học 12
– Chia khối hộp thành khối tứ diện ACB’D’ và vốn khối chóp A.A’B’D’, C.C’B’D’, B’.BAC và D’.DAC. Tính thể tích của bốn khối chóp A.A’B’D’, C.C’B’D’, B’.BAC và D’.DAC.
– Suy ra \(V_{ACB’D’} = V – (V_{A.A’B’D’} + V_{C.C’B’D’} + V_{B’BAC} + V_{D’DAC})\)
– Tính tỉ số thể tích.
Gọi S là diện tích đáy ABCD và h là chiều cao của khối hộp thì thể tích của khối hộp: ⇒ V = s.h
Chia khối hộp thành khối tứ diện ACB’D’ và bốn khối chóp A.A’B’D’, C.C’B’D’, B’.BAC và D’.DAC.
Xét khối chóp A.A’B’D’ có diện tích đáy \(S_{A’B’D’} = \frac{S}{2}\) và chiều cao bằng h.
Do đó \(V_{A.A’B’D’} = \frac{1}{3}.\frac{S}{2}.h = \frac{S.h}{6}\)
Tương tự như vậy ta chứng minh được:
\(V_{A.A’B’D’} = V_{C.C’B’D’} = V_{B’BAC} = V_{D’.DAC} = \frac{S.h}{6}\)
Vậy \(V_{ACB’D’} = V – (V_{A.A’B’D’} + V_{C.C’B’D’} + V_{BBAC} + V_{D’.DAC})\)
\(= S.h – 4.\frac{S.h}{6} = \frac{S.h}{3}\)
\(⇒ \frac{V}{V_{ACB’D’}} = \frac{S.h}{\frac{1}{3}S.h} = 3\)
Cách giải khác
Gọi S là diện tích đáy ABCD và h là chiều cao của khối hộp. Chia khối hộp thành khối tứ diện ACB′D′ và bốn khối chóp A.A′B′D′,C.C′B′D′,B′.BAC và D′.DAC. Ta thấy bốn khối chóp sau đều có diện tích đáy bằng \(\frac{s}{2}\) và chiều cao bằng h, nên tổng các thể tích của chúng bằng
\(\)\(4.\frac{1}{3}.\frac{s}{2}h = \frac{2}{3}SH\)Từ đó suy ra thể tích của khối tứ diện
\(ACB’D’= \frac{1}{3}SH\) Do đó tỉ số của thể tích khối hộp đó và thể tích của khối tứ diện ACB′D′ bằng 3.
Cách giải khác
Gọi S là diện tích đáy và h là chiều cao của khối hộp. Chia khối hộp thành tứ diện ACB’D’ và bốn khối chóp A.A’B’D’,C.C’B’D’, B’.BAC, D’.DAC. Bốn khối chóp A.A’B’D’, C.C’B’D’, B’.BAC, D’.DAC đếu có diện tích đáy bằng \(\frac{S}{2}\) và chiều cao bằng h, nên tổng các thể tích của chúng là:
\(4.\frac{1}{3}.\frac{S}{2}h = \frac{2}{3}Sh\)
Thể tích của khối tứ diện ACB’D’ là
\(V_1 = Sh – \frac{2}{3}Sh = \frac{1}{3}Sh\)
Vậy tỉ số giữa thể tích của khối hộp và thể tích của khối tứ diện ACB’D’ là: \(k = \frac{V_{kh}}{V_1} = \frac{Sh}{\frac{1}{3}Sh} = 3\)
Bài giải bài tập 3 trang 25 sgk hình học lớp 12 giúp bạn tính thể tích khối hộp và khối tứ diện. Xem các bài tập khác ngay bên dưới đây.
Trả lời