Chương I: Khối Đa Diện – Hình Học Lớp 12
Bài 3: Khái Niệm Về Thể Tích Của Khối Đa Diện
Bài Tập 4 Trang 25 SGK Hình Học Lớp 12
Cho hình chóp S.ABC. Trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A’, B’, C’ khác với S. Chứng minh rằng:
\(\)\(\frac{V_{S.A’B’C’}}{V_{S.ABC}} = \frac{SA’}{SA} . \frac{SB’}{SB} . \frac{SC’}{SAC}\)Lời Giải Bài Tập 4 Trang 25 SGK Hình Học 12
– Sử dụng công thức tính diện tích \(S_{ΔSB’C’} = \frac{1}{2}SB.SC.sin\widehat{BSC}\) tính diện tích tam giác SB’C’, tượng tự tính diện tích tam giác SBC, sau đó suy ra tỉ số \(\frac{S_{ΔSB’C’}}{S_{ΔSBC}}\)
– Sử dụng công thức tính thể tích \(V = \frac{1}{3}S.h\) lập tỉ số thể tích S.A’B’C’ và S.ABC, rút gọn và suy ra kết quả.
Gọi h và h’ lần lượt là chiều cao hạ từ A, A’ đến mặt phẳng (SBC).
Do A’H’ // AH nên bốn điểm A, A’; H và H’ đồng phẳng (1).
Lại có, 3 điểm A, S, H đồng phẳng (2).
Từ (1) và (2) suy ra, 5 điểm A, A’, S. H và H’ đồng phẳng.
Trong mp(ASH) ta có: \(\begin{cases}A’H’ ⊥ SH’\\AH ⊥ SH\\A’H’ // AH\end{cases} ⇒ SH’ ≡ SH\)
⇒ Ba điểm S, H và H’ thẳng hàng.
Gọi \(S_1\) và \(S_2\) theo thứ tự là diện tích các tam giác SBC và SB’C’.
Khi đó ta có \(\frac{h’}{h} = \frac{SA’}{SA}\) (định lý Ta-let) và:
\(\frac{S_2}{S_1} = \frac{S_{SB’C’}}{S_{SBC}} = \frac{\frac{1}{2}SB’.SC’.sin\widehat{VSC}}{\frac{1}{2}SB.SC.sin\widehat{BSC}} = \frac{SB’}{SB}.\frac{SC’}{SC}\)
Suy ra \(\frac{V_{S.A’B’C’}}{V_{S.ABC}} = \frac{V_{A’.SB’C’}}{V_{A.SBC}} = \frac{\frac{1}{3}h’S_2}{\frac{1}{3}hS_1}\)
\(= \frac{h’}{h}.\frac{S_2}{S_1} = \frac{SA’}{SA}.\frac{SB’}{SB}.\frac{SC’}{SC}\)
Đó là điều phải chứng minh.
Chú ý: Từ nay về sau chúng ta được sử dụng bài tập này như một kết quả và không cần chứng minh lại.
Cách giải khác
Gọi H, H’ lần lượt là hình chiếu của A, A’ lên mặt phẳng (SBC). Đặt \(α = \widehat {BSC}; β = (SA,mp(\widehat{SBC}) )\).
Ta có:
\(\frac{{{V_{S.A’B’C’}}}}{{{V_{S.ABC}}}}= \frac{{\frac{1}{3}{S_{SB’C’}}.A’H’}}{{\frac{1}{3}{S_{SBC}}.AH}} = \frac{{\frac{1}{2}SC’.SB’.\sinα.SA.\sinβ}}{{\frac{1}{2}.SB.SC.\sinα.\sinβ}} = \frac{{SA’.SB’.SC’}}{{SA.SB.SC}}.\)
Hình vẽ này chỉ cho một trường hợp H, H’ nằm trong miền trong tam giác SBC. Các trường hợp khác được vẽ hình và chứng minh tương tự.
Cách giải khác
– Gọi h và h’ lần lượt là chiều cao hạ từ A và A’ đến (BCD), dựa vào định lí Vi-et tính tỉ số \frac{h’}{h}.
– Sử dụng công thức tính diện tích \(S_{ΔSB’C’} = \frac{1}{2}SB.SC.sin\widehat{BSC}\) tính diện tích tam giác SB’C’, tương tự tích diện tích tam giác SBC, sau đó suy ra tỉ số \(\frac{S_{ΔSB’C’}}{S_{ΔSBC}}\)
– Sử dụng công thức tính thể tích \(V = \frac{1}{3}S.h\) lập tỉ số thể tích S.A’B’C’ và S.ABC, rút gọn và suy ra kết quả.
Gọi h và h′ lần lượt là chiều cao hạ từ A, A′ đến mặt phẳng (SBC)
Gọi \(S_1\) và \(S_2\) theo thứ tự là diện tích các tam giác SBC và SB′C′.
Khi đó ta có: \(\frac{h’}{h} = \frac{SA’}{SA}\)
và \(\frac{S_{SB’C’}}{S_{SBC}} = \frac{\frac{1}{2}SB’.SC’.sin\widehat{BSC}}{\frac{1}{2}SB.SC.sin\widehat{BSC}} = \frac{SB’}{SB}.\frac{SC’}{SC}\)
Suy ra \(\frac{V_{S.A’B’C’}}{V_{S.ABC}} = \frac{V_{A’.SB’C’}}{V_{A.SBC}} \)
\(= \frac{\frac{1}{3}h’S_2}{\frac{1}{3}hS_1} = \frac{SA’}{SA}.\frac{SB’}{SB}.\frac{SC’}{SC}\)
Đó là điều phải chứng minh.
Chú ý: Từ nay và sau chúng ta được sử dụng bài tập này như một kết quả và không cần chứng minh lại.
Trên là lời giải bài tập 4 trang 25 sgk hình học lớp 12 trong bài 3 khái niệm về thể tích khối đa diện. Xem thêm các bài tập khác ngay bên dưới đây nhé.
Trả lời