Chương II: Tổ Hợp – Xác Suất – Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Bài 2: Hoán Vị – Chỉnh Hợp – Tổ Hợp
Bài Tập 1 Trang 54 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập các số tự nhiên gồm sáu chữ số khác nhau. Hỏi:
a. Có tất cả bao nhiêu số?
b. Có bao nhiêu số chẵn, bao nhiêu số lẻ?
c. Có bao nhiêu số bé hơn 432 000?
Lời Giải Bài Tập 1 Trang 54 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Câu a: Có tất cả bao nhiêu số?
Phương pháp giải: Sử dụng hoán vị 6 phần tử.
Giải:
Cách 1: Mỗi số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau lập từ 6 chữ số đã cho, tương ứng với một cách sắp xếp thứ tự 6 chữ số đó hay còn gọi là một hoán vị của 6 phần tử:
Vậy có \(\)\(P_6 = 6! = 720\) (số)
Cách 2: Ta sử dung quy tắc nhân
Số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau có dạng \(\overline{abcdef}\), Vì lập từ 6 chữ số cho trước nên a, b, c, d, e, f ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6} và a, b, c, d, e, f đôi một khác nhau do.
– a có 6 cách.
– b ≠ a nên có 5 cách chọn ( trừ đi 1 số đã chọn là a)
– c ≠ b, a nên có 4 cách chọn. (trừ đi 2 số đã chọn là a, b)
– d ≠ c, b, a nên có 3 cách chọn. (trừ đi 3 số đã chọn là a, b, c)
– e ≠ d, c, b, a nên có 2 cách chọn. (trừ đi 4 số đã chọn là a, b, c, d)
– f ≠ e, d, c, b, a nên có 1 cách chọn. (trừ đi 5 số đã chọn là a, b, c, d, e)
Vậy theo quy tắc nhân ta có 6.5.4.3.2.1 = 720 số.
Câu b: Có bao nhiêu số chăn, bao nhiêu số lẻ?
Phương pháp giải:
Gọi số tự nhiên chẵn cần lập có dạng \(\overline{abcdef}\), với a, b, c, d, e, f ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
– Số tự nhiên đó là số chẵn khi f chia hết cho 2.
– Số tự nhiên đó là số lẻ khi f không chia hết cho 2.
Giải:
Số tự nhiên chẵn cần lập có dạng \(\overline{abcdef}\), với a, b, c, d, e, f ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}, có kể đến thứ tự, f chia hết cho 2.
– f chia hết cho 2 nên f ∈ {2; 4; 6} có 3 cách.
– e ≠ f nên có 5 cách chọn
– d ≠ e, f nên có 4 cách chọn
– c ≠ f, e, d nên có 3 cách chọn
– b ≠ f, e, d, c nên có 2 cách chọn
– a ≠ f, e, d, c, b nên có 1 cách chọn
Vậy theo quy tắc nhân có 3.5.4.3.2.1 = 360 số tự nhiên chẵn.
Do đó có: 720 – 360 = 360 số tự nhiên lẻ.
Cách khác:
– Chọn f có 3 cách chọn
– 5 chữ số còn lại có 5! = 120 cách sắp xếp thứ tự
Theo quy tác nhân có 3.5! = 360 (số)
Câu c: Có bao nhiêu số bé hơn 432 000?
Phương pháp giải: Số có 6 chữ số mà nhỏ hơn 432000 thì chữ số hàng trăm nghìn phải nhỏ hơn hoặc bằng 4.
Ta lần lượt xét các trường hợp: a = 4 và a < 4.
Giải:
Gọi số tự nhiên cần lập có dạng \(\overline{abcdef}, a, b, c, d, e, f ∈ {1; 2;….; 6}\)
Xét các trường hợp:
– Trường hợp 1: a = 4, b = 3
+ Nếu c = 2 thì d, e, f là các số còn lại 1, 5, 6. Khi đó số lập được sẽ lớn hơn 432000.
+ c < 2 nên c = 1, có 1 cách chọn c.
Số cách chọn d, e, f là số hoán vị của 3 chữ số còn lại nên có 3! cách.
Do đó có 1.1.1.3! = 6 số.
– Trường hợp 2: a = 4, b < 3
+ Có 1 cách chọn a.
+ b < 3 nên b ∈ {1; 2}, có 2 cách chọn b.
Số cách chọn c, d, e, f là số hoán vị của 4 chữ số nên có 4! cách.
Do đó có 2.4! = 48 số.
– Trường hợp 3: a < 4
Vì a < 4 nên a ∈ {1; 2; 3} và có 3 cách chọn a.
Số cách chọn các chữ số b, c, d, e, f là số hoán vị của 5 chữ số còn lại nên có 5! cách.
Do đó có 3.5! = 360 số.
Vậy có 6 + 48 + 360 = 414 số.
Đặt A = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Câu a: Có tất cả bao nhiêu số?
Tập hợp A gồm 6 phần tử. Để lập được số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau thì mỗi số như vậy được coi là một chỉnh hợp chập 6 của 6 phần tử.
Vây ta có số các số đó là: \(A_6^6 = \frac{6}{(6 – 6)!} = 6! = 720\) (số)
Câu b: Có bao nhiêu số chăn, bao nhiêu số lẻ?
Có bao nhiêu số chẵn:
Cách 1: Số chẵn là các số có tận cùng 2, 4, 6
– Gọi số chẵn 6 chữ số khác nhau là \(\overline{abcdef}\)
– Với f = 2, 4, 6 nên có 3 cách chọn f (f ≠ a, b, c, d, e)
Có 5 cách chọn chữ số a;
Có 4 cách chọn chữ số b (b ≠ a)
Có 3 cách chọn chữ số c(c ≠ a, b);
Có 2 cách chọn chữ số d (d ≠ a, b, c);
Có 1 cách chọn chữ số e (e ≠ a, b, c, d);
Vậy theo quy tắc nhân có: 3.1.2.3.4.5 = 3.5! = 360 (số)
Cách 2: Với f = 2, 4, 6 có 3 cách chọn f
a, b, c, d, e ≠ f nên có \(A_5^5 = 5!\) cách chọn.
Vậy số cách chọn: 5!.3 = 360 (số)
Có bao nhiêu số lẻ:
Gọi số lẻ có 6 chữ số \(\overline{a_1b_1c_1d_1e_1f_1}\)
Ta có: \(f_1 = 1, 3, 5\) nên có 3 cách chọn \(a_1, b_1, c_1, d_1, e-1 ≠ f_1\) nên có \(A_5^5\) cách chọn.
Vậy ta có: 3.5! = 360 số
Câu c: Có bao nhiêu số bé hơn 432 000?
Để có một số có 6 chữ số khác nhau lập từ 6 chữ số trên và nhỏ hơn 432.000 ta có thể:
– Chọn chữ số hàng trăm nghìn nhỏ hơn 4: có 3 cách chọn
Với 5 chữ số còn lại có 5! Cách chọn. Số các số như vậy là:
\(n_1 = 3 .5! = 360\) số.
– Chọn chữ số đầu là 4, chữ số thứ hai nhỏ hơn 3 và 4 chữ số còn lại.
Số các số như vậy là: \(n_2 = 2.4! = 48\) số
– Chọn hai số đầu là 43 và chữ số thứ 3 nhỏ hơn 2:
Số các số như vậy là: \(n_3 = 3! = 6\) số
Vậy số các số nhỏ hơn 432.000 là:
\(n = n_1 + n_2 + n_3 = 360 + 48 + 6 = 414\) số.
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 1 Trang 54 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11 Của Bài 2: Hoán Vị – Chỉnh Hợp – Tổ Hợp Thuộc Chương II: Tổ Hợp – Xác Suất Môn Đại Số Và Giải Tích Lớp 11. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Đại Số Và Giải Tích Lớp 11.
Trả lời