Chương III: Nguyên Hàm – Tích Phân & Ứng Dụng – Giải Tích Lớp 12
Bài 1: Nguyên Hàm
Bài Tập 2 Trang 100 SGK Giải Tích Lớp 12
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a. \(\)\(f(x) = \frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt[3]{x}}\)
b. \(f(x) = \frac{2^x – 1}{e^x}\)
c. \(f(x) = \frac{1}{sin^2x.cos^2x}\)
d. \(f(x) = sin5x.cos3x\)
e. \(f(x) = tan^2x\)
g. \(f(x) = e^{3 – 2x}\)
h. \(f(x) = \frac{1}{(1 + x)(1 – 2x)}\)
Lời Giải Bài Tập 2 Trang 100 – 101 SGK Giải Tích 12
Câu a: \(f(x) = \frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt[3]{x}}\)
Phương pháp giải:
– Biến đổi các biểu thức cần tính nguyên hàm về các hàm số dạng cơ bản.
– Sau đó sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản để làm bài toán:
\(\int x^ndx = \frac{1}{n + 1}x^{n + 1} + C\)
\(\int \frac{1}{x}dx = ln|x| + C\)
\(\int e^xdx = e^x + C\)
\(\int cosxdx = sinx + C\)
\(\int sinxdx = -cosx + C\)
\(\int \frac{1}{cos^2x}dx = tan x + C\)
\(\int \frac{1}{sin^2x}dx = -cot x + C..\)
Giải: Điều kiện x > 0. Thực hiện chia tử cho mẫu ta được:
\(f(x) = \frac{x + x^{\frac{1}{2}} + 1}{x^{\frac{1}{3}}}\)
\(= x^{1 – \frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{2} – \frac{1}{3}} + x^{-\frac{1}{3}}\)
\(= x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{6}} + x^{-\frac{1}{3}}\)
\(⇒ \int f(x)dx = \int (x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{6}} + x^{-\frac{1}{3}})dx\)
\(= \frac{x^{\frac{2}{3} + 1}}{\frac{2}{3} + 1} + \frac{x^{\frac{1}{6} + 1}}{\frac{1}{6} + 1} + \frac{x^{-\frac{1}{3} + 1}}{-\frac{1}{3} + 1} + C\)
\(= \frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}} + \frac{6}{7}x^{\frac{7}{6}} + \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} + C\)
Câu b: \(f(x) = \frac{2^x – 1}{e^x}\)
Phương pháp giải: Sử dụng công thức nguyên hàm:
\(\int a^xdx = \frac{a^x}{lna} + C\)
\(\int e^{ax + b}dx = \frac{e^{ax + b}}{a} +C\)
Giải: \(f(x) = \frac{2^x – 1}{e^x} = (\frac{2}{e})^x – e^{-x}\)
\(⇒ F(x) = \int f(x)dx\)
\(= \int ((\frac{2}{e})^x – e^{-x})\)
\(= \frac{(\frac{2}{e})^x}{ln(\frac{2}{e})} – \frac{e^{-x}}{-1} + C\)
\(= \frac{2^x}{e^x(ln2 – 1)} + e^{-x} + C\)
\(= \frac{2^x + ln 2 – 1}{e^x(ln 2 – 1)} + C\)
Câu c: \(f(x) = \frac{1}{sin^2x.cos^2x}\)
\(f(x) = \frac{1}{sin^2x.cos^2x} = \frac{sin^2x + cos^2x}{sin^2xcos^2x}\)
\(= \frac{sin^2x}{sin^2xcos^2x} + \frac{cos^2x}{sin^2xcos^2x}\)
\(= \frac{1}{sin^2x} + \frac{1}{cos^2x}\)
\(⇒ F(x) = \int f(x)dx\)
\(= \int (\frac{1}{sin^2x} + \frac{1}{cos^2x})dx\)
\(= -cotx + tanx + C\)
\(= \frac{sinx}{cosx} – \frac{cosx}{sinx} + C\)
\(= \frac{sin^2x – cos^2x}{sinx.cosx} + C\)
\(= \frac{-cos2x}{\frac{1}{2}sin2x} + C\)
\(= -2cot2x + C\)
Câu d: \(f(x) = sin5x.cos3x\)
Phương pháp giải: Công thức phân tích tích thành tổng:
\(sinacosb = \frac{1}{2}(sin(a + b) + sin(a – b))\)
Giải: Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng ta có:
\(f(x) = sin5x.cos3x\)
\(= \frac{1}{2}(sin8x + sin2x)\)
\(⇒ F(x) = \int f(x)dx\)
\(= \int \frac{1}{2}(sin8x + sin2x)dx\)
\(= \frac{1}{2}(-\frac{1}{8}cos8x – \frac{1}{2}cos2x) + C\)
\(= -\frac{1}{4}(\frac{1}{4}cos8x + cos2x) + C\)
Câu e: \(f(x) = tan^2x\)
Phương pháp giải: Áp dụng công thức:
\(\frac{1}{cos^2x} = tan^2x + 1 ⇒ tan^2x = \frac{1}{cos^2x} – 1\)
Nguyên hàm: \(\int \frac{1}{cos^2x}dx = tan x + C\)
Giải: \(f(x) = tan^2x = \frac{1}{cos^2x} – 1\)
\(⇒ F(x) = \int f(x)dx\)
\(= \int (\frac{1}{cos^2x} – 1)dx\)
\(= \int \frac{1}{cos^2x}dx – \int dx\)
\(= tan x – x + C\)
Câu g: \(f(x) = e^{3 – 2x}\)
Giải: \(f(x) = e^{3 – 2x} ⇒ F(x) = \int f(x)dx = \int e^{3 – 2x}dx\)
\(= -\frac{1}{2} \int e^{3 – 2x}(3 – 2x)’dx\)
\(= -\frac{1}{2}e^{3 – 2x} + C\)
Câu h: \(f(x) = \frac{1}{(1 + x)(1 – 2x)}\)
Giải: Ta có: \(f(x) = \frac{1}{(1 + x)(1 – 2x)} = \frac{1 – 2x + 2(1 + x)}{3(1 + x)(1 – 2x)}\)
\(= \frac{1 – 2x}{3(1 + x)(1 – 2x)} + \frac{2(1 + x)}{3(1 + x)(1 – 2x)}\)
\(= \frac{1}{3(x + 1)} + \frac{2}{3(1 – 2x)}\)
\(⇒ \int \frac{dx}{(1 + x)(1 – 2x)} = \frac{1}{3} \int (\frac{1}{1 + x} + \frac{2}{1 – 2x})dx\)
\(= \frac{1}{3}(\int \frac{1}{1 + x}dx + \int \frac{2}{1 – 2x}dx)\)
Đặt \(1 + x = t ⇒ dx = dt\)
\(⇒ \int \frac{1}{1 + x}dx = \int \frac{1}{t}dt = ln|t| + C_1 = ln|1 + x| + C_1\)
Đặt \(1 – 2x = t ⇒ -2dx = dt\)
\(⇒ \int \frac{2}{1 – 2x}dx = \int \frac{-dt}{t} = -ln|t| + C_2 = -ln|1 – 2x| + C_2\)
\(⇒ \frac{1}{3}(\int \frac{1}{1 + x}dx + \int \frac{2}{1 – 2x}dx)\)
\(= \frac{1}{3}(ln|1 + x| – ln|1 – 2x|) + C\)
\(= \frac{1}{3}|\frac{1 + x}{1 – 2x}| + C\)
Vậy \(\int f(x)dx = \frac{1}{3}ln|\frac{1 + x}{1 – 2x}| + C\)
Câu a: \(f(x) = \frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt[3]{x}}\)
\(f(x) = \frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt[3]{x}} = \frac{x + x^{\frac{1}{2}} + 1}{x^{\frac{1}{3}}}\)
\(= x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{6}} + x^{\frac{1}{3}}\)
\(⇒ \int f(x)dx = \frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}} + \frac{6}{7}x^{\frac{7}{6}} + \frac{3}{2}^{\frac{2}{3}} + C\)
Câu b: \(f(x) = \frac{2^x – 1}{e^x}\)
\(f(x) = \frac{2^x – 1}{e^x} = (\frac{2}{e})^x – e^{-x}\)
\(⇒ \int f(x)dx = \frac{(\frac{2}{e})^x}{ln\frac{2}{e}} + e^{-x}\)
\(= \frac{2^x}{e^x(ln 2 – 1)} + \frac{1}{e^x} = \frac{2^x + ln 2 – 1}{e^x(ln 2 – 1)}\)
Câu c: \(f(x) = \frac{1}{sin^2x.cos^2x}\)
\(f(x) = \frac{1}{sin^2x.cos^2x} = \frac{sin^2 + cos^2x}{sin^2x.cos^2x}\)
\(= \frac{1}{sin^2x} + \frac{1}{cos^2x}\)
\(⇒ \int f(x)dx = \int (\frac{1}{sin^2x} + \frac{1}{cos^2x})dx = tanx – cotx + C\)
Câu d: \(f(x) = sin5x.cos3x\)
\(f(x) = sin5x.cos3x = \frac{1}{2}(sin8x + sin2x)\)
Vậy: \(\int f(x)dx = \frac{1}{2} \int(sin8x + sin2x)dx\)
\(= -\frac{1}{2}(\frac{1}{8}cos8x + \frac{1}{2}cos2x) + C\)
\(= -\frac{1}{4}(\frac{1}{4}cos8x + cos2x) + C\)
Câu e: \(f(x) = tan^2x\)
\(f(x) = tan^2x = \frac{1}{cos^2x} – 1\)
\(⇒ \int f(x)dx = \int (\frac{1}{cos^2} – 1)dx\)
\(= tan x – x +C\)
Câu g: \(f(x) = e^{3 – 2x}\)
\(\int f(x)dx = \int e^{3 – 2x}dx = -\frac{1}{2}e^{3 – 2x} + C\)
Câu h: \(f(x) = \frac{1}{(1 + x)(1 – 2x)}\)
\(f(x) = \frac{1}{(1 + x)(1 – 2x)} = \frac{a}{1 + x} + \frac{b}{1 – 2x}\)
\(= \frac{a(1 – 2x) + b(1 + x)}{(1 + x)(1 – 2x)} = \frac{(b – 2a)x + a + b}{(1 + x)(1 – 2x)}\)
Đồng nhất hệ số ta có: \(\begin{cases}b – 2a = 0\\a + b = 1\end{cases} ⇔ \begin{cases}a = \frac{1}{3}\\b = \frac{2}{3}\end{cases}\)
\(Vậy: \int f(x)dx = \frac{1}{3} \int \frac{1}{1 + x}dx + \frac{2}{3} \int \frac{1}{1 – 2x}dx\)
\(= \frac{1}{3}ln|1 + x| – \frac{1}{3}ln|2x – 1| + C\)
\(= \frac{1}{3}ln|\frac{x + 1}{2x – 1}| + C\)
Câu a: \(f(x) = \frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt[3]{x}}\)
\(f(x) = \frac{x}{\sqrt[3]{x}} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x}} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\)
\(= x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{6}} + x^{-\frac{1}{3}}\)
\(\int f(x)d = \int x^{\frac{2}{3}}dx + \int x^{\frac{1}{6}}dx + \int x^{-\frac{1}{3}}dx\)
\(= \frac{3^{\frac{2}{3} + 1}}{\frac{2}{3} + 1} + \frac{x^{\frac{1}{6} + 1}}{\frac{1}{6} + 1} + \frac{x^{-\frac{1}{3} + 1}}{-\frac{1}{3} + 1}\)
\(= \frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}} + \frac{6}{7}x^{\frac{7}{6}} + \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} + C\)
Câu b: \(f(x) = \frac{2^x – 1}{e^x}\)
Ta có: \(\int f(x)dx = \int (\frac{2}{e})^xdx – \int e^{-x}dx\)
\(= \frac{2^x}{e^x(ln2 – 1)} + \frac{1}{e^x} + C\)
Câu c: \(f(x) = \frac{1}{sin^2x.cos^2x}\)
Ta có: \(f(x) = \frac{1}{sin^2xcos^2x} = \frac{4}{sin^22x} = [-2cot2x]’\)
Vậy \(\int f(x)dx = -2cot2x + C\)
Câu d: \(f(x) = sin5x.cos3x\)
Ta có: \(f(x) = sin5xcos3x = \frac{1}{2}[sin8x + sin2x]\)
\(\int f(x)dx = \frac{1}{2} \int sin8xdx + \frac{1}{2} \int sin2xdx\)
\(= -\frac{1}{16}cos8x – \frac{1}{4}cos2x + C\)
Câu e: \(f(x) = tan^2x\)
Ta có: \(f(x) = tan^2x = \frac{1}{cos^2x} – 1\)
\(\int f(x)dx = \int(\frac{1}{cos^2x} – 1)dx = tanx – x + C\)
Câu g: \(f(x) = e^{3 – 2x}\)
Vậy \(\int f(x)dx = \int e^{3 – 2x}dx\)
\(= -\frac{1}{2} \int e^{3 – 2x} (3 – 2x)’dx = -\frac{1}{2}e^{3 – 2x} + C\)
Câu h: \(f(x) = \frac{1}{(1 + x)(1 – 2x)}\)
Ta có: \(f(x) = \frac{[(1 – 2x) + 2(x + 1)]}{3(1 + x)(2 – 2x)}\)
\(= \frac{1}{2(x + 1)} + \frac{2}{3(1 – 2x)}\)
\(f(x)dx = \frac{1}{3} \int \frac{dx}{1 + x} – \frac{1}{3} \int \frac{(1 – 2x)’dx}{1 – 2x}\)
\(= \frac{1}{3}ln|1 + x| – \frac{1}{3}ln|1 – 2x| = \frac{1}{3}ln|\frac{1 + x}{1 – 2x}| + C\)
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 2 Trang 100 SGK Giải Tích Lớp 12 Của Bài 1: Nguyên Hàm Thuộc Chương III: Nguyên Hàm – Tích Phân & Ứng Dụng Môn Giải Tích Lớp 12. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Giải Tích Lớp 12.
Trả lời