Chương III: Nguyên Hàm – Tích Phân & Ứng Dụng – Giải Tích Lớp 12
Bài 1: Nguyên Hàm
Bài Tập 4 Trang 101 SGK Giải Tích Lớp 12
Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:
a. \(\)\(\int xln(1 + x)dx\)
b. \(\int (x^2 + 2x – 1)e^xdx\)
c. \(\int xsin(2x + 1)dx\)
d. \(\int (1 – x)cosxdx\)
Lời Giải Bài Tập 4 Trang 101 SGK Giải Tích 12
Câu a: \(\int xln(1 + x)dx\)
Phương pháp giải: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần:
Đặt \(\begin{cases}u = u(x)\\dv = v'(x)dx\end{cases} ⇒ \begin{cases}du = u'(x)dx\\v = v(x)\end{cases}\)
Khi đó ta có: \(\int f(x)dx = u(x)v(x) – \int u'(x)v(x)dx\)
Giải: \(\int xln(1 + x)dx\)
Đặt \(\begin{cases}u = ln(1 + x)\\dv = xdx\end{cases} ⇒ \begin{cases}du = \frac{1}{x + 1}dx\\v = \frac{x^2}{2}\end{cases}\)
\(⇒ \int xln(1 + x)dx\)
\(= \frac{x^2}{2}ln(1 + x) – \int \frac{x^2}{2(x + 1)}dx\)
\(= \frac{x^2}{2}ln(1 + x) – \frac{1}{2}\int (\frac{x^2 – 1}{x + 1} + \frac{1}{x + 1})dx\)
\(= \frac{x^2}{2}ln(1 + x) – \frac{1}{2}(x – 1 + \frac{1}{x + 1})dx\)
\(= \frac{x^2}{2}ln(1 + x) – \frac{1}{2}(\frac{x^2}{2} – x + ln(1 + x)) + C\)
\(= \frac{x^2}{2}ln(1 + x) – \frac{x^2}{4} + \frac{x}{2} – \frac{1}{2}ln(1 + x) + C\)
\(= \frac{1}{2}(x^2 – 1)ln(1 + x) – \frac{x^2}{4} + \frac{x}{2} + C\)
Câu b: \(\int (x^2 + 2x – 1)e^xdx\)
Giải: \(\int (x^2 + 2x – 1)e^xdx\)
Đặt \(\begin{cases}u =x^2 + 2x – 1\\dv = e^xdx\end{cases} ⇒ \begin{cases}du = (2x + 2)dx\\v = e^x\end{cases}\)
\(⇒ \int (x^2 + 2x – 1)e^xdx\)
\(= (x^2 + 2x – 1)e^x – \int (2x + 2)e^xdx\)
\(= (x^2 + 2x – 1)e^x – 2\int (x + 1)e^xdx\)
Xét \(\int (x + 1)e^xdx\)
Đặt \(\begin{cases}u = x + 1\\dv = e^xdx\end{cases} ⇒ \begin{cases}du = dx\\v = e^x\end{cases}\)
\(⇒ \int (x + 1)e^xdx\)
\(= (x + 1)e^x – \int e^xdx\)
\(= (x + 1)e^x – e^x + C = xe^x + C\)
\(⇒ \int (x^2 + 2x – 1)e^xdx\)
\(= (x^2 + 2x – 1)e^x – 2xe^x + C\)
\(= (x^2 – 1)e^x + C\)
Câu c: \(\int xsin(2x + 1)dx\)
Giải: \(\int xsin(2x + 1)dx\)
Đặt \(\begin{cases}u = x\\dv = sin(2x + 1)dx\end{cases}\)
\(⇒ \begin{cases}du = dx\\v = -\frac{1}{2}cos(2x + 1)\end{cases}\)
\(⇒ \int xsin(2x + 1)dx\)
\(= -\frac{1}{2}xcos(2x +1) + \frac{1}{2} \int cos(2x + 1)dx\)
\(= -\frac{1}{2}xcos(2x + 1) + \frac{1}{4}sin(2x + 1) + C\)
Câu d: \(\int (1 – x)cosxdx\)
Giải: \(\int (1 – x)cosxdx\)
Đặt \(\begin{cases}u = 1 – x\\dv = cosxdx\end{cases} ⇒ \begin{cases}du = -dx\\v = sinx\end{cases}\)
\(⇒ \int (1 – x)cosxdx\)
\(= (1 – x)sinx + \int sinxdx\)
\(= (1 – x)sinx – cosx + C\)
Câu a: \(\int xln(1 + x)dx\)
Áp dụng phương pháp tìm nguyên hàm từng phần:
Đặt \(u = ln(1 + x); dv = xdx\)
\(⇒ du = \frac{1}{1 + x}dx, v = \frac{x^2 – 1}{2}\)
Ta có: \(\int xln(1 + x)dx = \frac{1}{2}.(x^2 – 1)ln(1 + x) -\frac{1}{2}\int (x – 1)dx)\)
\(= \frac{1}{2}.(x^2 – 1)ln(1 + x) – \frac{1}{4}x^2 + \frac{x}{2} + C\)
Câu b: \(\int (x^2 + 2x – 1)e^xdx\)
Tìm nguyên hàm từng phần hai lần:
Đặt \(u = ({x^2} + 2x – 1)\) và \(dv = e^xdx\)
Suy ra \(du = (2x + 2)dx, v = e^x\)
Khi đó:
\(\int (x^2 + 2x – 1)e^xdx = (x^2 + 2x – 1)e^x – \int (2x + 2)e^xdx\)
Đặt: \(u = 2x + 2; dv = e^xdx\)
\(⇒ du = 2dx; v = e^x\)
Khi đó: \(\int (2x + 2)e^xdx = (2x + 2)e^x – 2\int e^xdx = e^x(2x + 2) – 2e^x + C\)
Vậy: \(\int (x^2 + 2x – 1)e^xdx = e^x(x^2 – 1) + C\)
Câu c: \(\int xsin(2x + 1)dx\)
Đáp số: \(-\frac{x}{2}cos(2x + 1) + \frac{1}{4}sin(2x + 1) + C\)
Hướng dẫn: Đặt \(u = x; dv = sin(2x +1)dx\)
Câu d: \(\int (1 – x)cosxdx\)
Đáp số: \((1 – x)sinx – cosx + C\).
Hướng dẫn: Đặt \(u = 1 – x; dv = cosxdx\)
Câu a: \(\int xln(1 + x)dx\)
Đặt \(\begin{cases}u = ln(1 + x)\\dv = xdx\end{cases}\)
\(⇒ \begin{cases}du = \frac{1}{x + 1}dx\\v = \frac{1}{2}x^2\end{cases}\)
Ta có: \(\int xln(1 + x)dx = \frac{x^2}{2}ln(1 + x) – \int\frac{x^2dx}{2(x + 1)}\)
\(= \frac{x^2}{2}ln(1 + x) – \frac{x^4}{4} + \frac{x}{2} – \frac{1}{2}ln(1 + x) + C\)
\(= \frac{1}{2}(x^2 – 1)ln(1 – x) – \frac{x^2}{4} + \frac{x}{2} + C\)
Câu b: \(\int (x^2 + 2x – 1)e^xdx\)
Đặt \(\begin{cases}u = x^2 + 2x + 1\\dv = e^xdx\end{cases}\)
\(⇒ \begin{cases}du = 2(x + 1)dx\\v = e^x\end{cases}\)
\(\int (x^2 + 2x – 1)e^xdx = (x^2 + 2x – 1)e^x – 2 \int (x + 1)e^xdx\) (1)
Đặt \(\begin{cases}u = x + 1\\dv = e^xdx\end{cases} ⇒ \begin{cases}du = dx\\v = e^x\end{cases}\)
Thay vào (1) ta có: \(\int(x^2 + 2x – 1)e^xdx\)
\(= (x^2 + 2x – 1)e^x – 2xe^x + C = (x^2 – 1)e^x + C\)
Câu c: \(\int xsin(2x + 1)dx\)
Đặt u(x) = x và sin (2x + 1)dx = dv(x)
\(⇒ du(x) = dx, v(x) = -\frac{1}{2}cos(2x + 1)\)
\(\int xsin(2x + 1)dx = -\frac{1}{2}xcos(2x + 1) + \frac{1}{2} \int cos(2x + 1)dx\)
\(= -\frac{1}{2}xcos(2x + 1) + \frac{1}{4}sin(2x + 1) + C\)
Câu d: \(\int (1 – x)cosxdx\)
Đặt \(1 – x = u(x); cosdx = dv(x)\)
\(⇒ du(x) = -dx, v(x) = sinx\)
\(\int (1 – x)cosxdx = (1 – x)sinx + \int sinxdx\)
\(= (1 – x)sinx – cosx + C\)
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 4 Trang 101 SGK Giải Tích Lớp 12 Của Bài 1: Nguyên Hàm Thuộc Chương III: Nguyên Hàm – Tích Phân & Ứng Dụng Môn Giải Tích Lớp 12. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Giải Tích Lớp 12.
Trả lời