Chương III: Nguyên Hàm – Tích Phân & Ứng Dụng – Giải Tích Lớp 12
Bài 1: Nguyên Hàm
Bài Tập 3 Trang 101 SGK Giải Tích Lớp 12
Sử dụng phương pháp đổi biến số, hãy tính:
a. \(\)\(\int (1 – x)^9dx\) (đặt \(u = 1 – x\))
b. \(\int x(1 + x^2)^{\frac{3}{2}}dx\) (đặt \(u = 1 + x^2\))
c. \(\int cos^3xsinxdx\) (đặt \(t = cosx\))
d. \(\int \frac{dx}{e^x + e^{-x} + 2}\) (đặt \(u = e^x + 1\))
Lời Giải Bài Tập 3 Trang 101 SGK Giải Tích 12
Câu a: \(\int (1 – x)^9dx\) (đặt \(u = 1 – x\))
Phương pháp giải:
Đặt \(u = u(x) ⇒ du = u'(x)dx\)
Khi đó: \(⇒ I = \int f(x)dx = \int g(u)du\)
Sau đó sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản để tìm nguyên hàm của hàm ẩn u.
Suy ra nguyên hàm của hàm số ẩn x.
Cách 1: Đặt \(u = 1 – x ⇒ du = -dx\). Khi đó ta được \(-\int u^9du = -\frac{1}{10}u^{10} + C\)
Suy ra \(\int (1 – x)^9dx = -\frac{(1 – x)^{10}}{10} + C\)
Cách 2: \(\int (1 – x)^9dx = -\int (1 – x)^9d(1 – x) = -\frac{(1 – x)^{10}}{10} + C\)
Câu b: \(\int x(1 + x^2)^{\frac{3}{2}}dx\) (đặt \(u = 1 + x^2\))
Cách 1: Đặt \(u = 1 + x^2 ⇒ du = 2xdx ⇒ xdx = \frac{1}{2}du\)
\(⇒ \int \frac{1}{2}u^{\frac{3}{2}}du = \frac{1}{2}.\frac{u^{\frac{3}{2} + 1}}{\frac{3}{2} + 1} + C\)
\(= \frac{u^{\frac{5}{2}}}{5} + C = \frac{(1 + x^2)^{\frac{5}{2}}}{5} + C\)
Cách 2: \(\int x(1 + x^2)^{\frac{3}{2}}dx\)
\(= \frac{1}{2} \int (1 + x^2)^{\frac{3}{2}}d(1 + x^2)\)
\(= \frac{1}{2}.\frac{2}{5}(1 + x^2)^{\frac{5}{2}} + C\)
\(= \frac{1}{5}.(1 + x^2)^{\frac{5}{2}} + C\)
Câu c: \(\int cos^3xsinxdx\) (đặt \(t = cosx\))
Cách 1: Đặt \(t = cosx ⇒ dt = -sinxdx\)
\(⇒ \int cos^3x.sinxdx = \int – t^3du\)
\(= -\frac{1}{4}t^4 + C = -\frac{1}{4}cos^4x + C\)
Cách 2: \(\int cos^3xsinxdx = -\int cos^3xd(cosx)\)
\(= -\frac{1}{4}.cos^4x + C\)
Câu d: \(\int \frac{dx}{e^x + e^{-x} + 2}\) (đặt \(u = e^x + 1\))
Cách 1: Ta có: \(e^x + e^{-x} + 2 = e^x + \frac{1}{e^x} + 2\)
\(= \frac{e^{2x} + 2e^x + 1}{e^x} = \frac{(e^x + 1)^2}{e^x}\)
\(⇒ \frac{1}{e^x + e^{-x} + 2} = \frac{e^x}{(e^x + 1)^2}\)
Đặt \(u = e^x + 1 ⇒ du = e^xdx\)
\(\int \frac{dx}{e^x + e^{-x} + 2} = \int \frac{e^x}{(e^x + 1)^2}dx\)
\(= \int \frac{du}{u^2} = -\frac{1}{u} + C = -\frac{1}{e^x + 1} + C\)
Cách 2: \(\int \frac{dx}{e^x + e^{-x} + 2} = \int \frac{e^x}{e^{2x} + 2e^x + 1}dx\)
\(= \int \frac{d(e^x + 1)}{(e^x + 1)^2}dx = \frac{-1}{e^x + 1} + C\)
Câu a: \(\int (1 – x)^9dx\) (đặt \(u = 1 – x\))
Đặt \(u = 1 – x ⇒ du = -dx ⇒ dx = -du\)
\(\int (1 – x)^9dx = -\int u^9du = -\frac{u^{10}}{10} + C\)
\(= -\frac{1}{10}(1 – x)^{10} + C\)
Câu b: \(\int x(1 + x^2)^{\frac{3}{2}}dx\) (đặt \(u = 1 + x^2\))
Đặt \(u = 1 + x^2 ⇒ du = 2xdx ⇒ xdx = \frac{1}{2}du\)
\(\int x(1 + x^2)^{\frac{3}{2}}dx = \frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}}du\)
\(= \frac{1}{5}u^{\frac{5}{2}} + C\)
\(= \frac{1}{5}(1 + x^2)^{\frac{5}{2}} + C\)
Câu c: \(\int cos^3xsinxdx\) (đặt \(t = cosx\))
Đặt \(t = cosx ⇒ dt = -sinxdx ⇒ sinxdx = -dt\)
\(\int cos^3x.sinxdx = -\int t^3dt\)
\(= -\frac{t^4}{4} + C = -\frac{1}{4}cos^x + C\)
Câu d: \(\int \frac{dx}{e^x + e^{-x} + 2}\) (đặt \(u = e^x + 1\))
Ta có: \(\int \frac{dx}{e^x + e^{-x} + 2} = \int \frac{e^xdx}{e^{2x} + 2.e^x + 1} = \int \frac{e^xdx}{(e^x + 1)^2}\)
Đặt \(t = e^x + 1⇒ dt = e^xdx\)
Suy ra: \(I = \int \frac{dt}{t^2} = -\frac{1}{t} + C = -\frac{1}{e^x + 1} + C\)
Câu a: \(\int (1 – x)^9dx\) (đặt \(u = 1 – x\))
Đặt u = 1 – x; du = -dx
Vậy \(\int{1 – x}^9dx = -\int u^9du\)
\(= -\frac{u^{10}}{10} + C = -\frac{(1 – x)^{10}}{10} + C\)
Câu b: \(\int x(1 + x^2)^{\frac{3}{2}}dx\) (đặt \(u = 1 + x^2\))
Đặt \(u = (1 + x^2); du = 2xdx ⇒ xdx = \frac{du}{2}\)
Vậy \(\int x(1 + x^2)^{\frac{3}{2}}dx = \frac{1}{2}\int u^{\frac{3}{2}}\)
\(= \frac{\frac{1}{2}(u^{\frac{3}{2}} +1)}{\frac{3}{2} + 1} + C\)
\(= \frac{(1 + x^2)^{\frac{5}{2}}}{5} + C\)
Câu c: \(\int cos^3xsinxdx\) (đặt \(t = cosx\))
Đặt u = cosx, du = -sinxdx
Vậy \(\int cos^3xsinxdx = -\int u^3du\)
\(= -\frac{u^4}{4} + C = -\frac{cos^4x}{4} + C\)
Câu d: \(\int \frac{dx}{e^x + e^{-x} + 2}\) (đặt \(u = e^x + 1\))
Ta có: \(e^x + e^{-x} + 2 = \frac{e^{2x} + 2e^x + 1}{e^x} = \frac{(e^x + 1)}{e^x}\)
Đặt \(u = (e^x + 1)\) ta có:
Vậy \(\int f(x)dx = \int\frac{1}{u^2}du = -\frac{1}{u} + C = -\frac{1}{e^x + 1} + C\)
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 3 Trang 101 SGK Giải Tích Lớp 12 Của Bài 1: Nguyên Hàm Thuộc Chương III: Nguyên Hàm – Tích Phân & Ứng Dụng Môn Giải Tích Lớp 12. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Giải Tích Lớp 12.
Trả lời