Chương III: Nguyên Hàm – Tích Phân & Ứng Dụng – Giải Tích Lớp 12
Bài 2: Tích Phân
Bài Tập 2 Trang 112 SGK Giải Tích Lớp 12
Tính các tích phân sau:
a. \(\)\(\int_0^2|1 – x|dx\)
b. \(\int_0^{\frac{π}{2}}sin^2xdx\)
c. \(\int_0^{ln2}\frac{e^{2x + 1} + 1}{e^x}dx\)
d. \(\int_0^πsin2xcos^2xdx\)
Lời Giải Bài Tập 2 Trang 112 SGK Giải Tích 12
Câu a: \(\int_0^2|1 – x|dx\)
Phương pháp giải: Phá dấu giá trị tuyệt đối.
Giải: Ta có: \(|1 – x| = \left[ \begin{gathered} 1 – x \, \, khi \, \, x ≤ 1\\ x – 1 \, \, khi \, \, x > 1\\ \end{gathered} \right.\)
\(⇒ \int_0^2|1 – x|dx = \int_0^1|1 – x|dx + \int_1^2|1 – x|dx\)
\(= \int_0^1(1 – x)dx + \int_1^2(x – 1)dx\)
\(= (x – \frac{x^2}{2})\Bigg|_0^1 + (\frac{x^2}{2} – x)\Bigg|_1^2\)
\(= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\)
Câu b: \(\int_0^{\frac{π}{2}}sin^2xdx\)
Phương pháp giải: Sử dụng công thức hạ bậc: \(sin^2x = \frac{1 – cos2x}{2}\)
Giải: \(\int_0^{\frac{π}{2}}sin^2xdx = \frac{1}{2}\int_0^{\frac{π}{2}}(1 – cos2x)dx\)
\(= \frac{1}{2}(x – \frac{sin2x}{2})\Bigg|_0^{\frac{π}{2}}\)
\(= \frac{1}{2}.\frac{π}{2} = \frac{π}{4}\)
Câu c: \(\int_0^{ln2}\frac{e^{2x + 1} + 1}{e^x}dx\)
Phương pháp giải: Chia tử cho mẫu và sử dụng công thức: \(\int e^{ax + b}dx = \frac{1}{2}e^{ax + b} + C\)
Giải: \(\int_0^{ln2}\frac{e^{2x + 1} + 1}{e^x}dx = \int_0^{ln2}(e^{2x + 1 – x} + e^{-x})dx\)
\(= \int_0^{ln2} (e^{x + 1} + e^{-x})dx\)
\(= (e^{x + 1} – e^{-x})\Bigg|_0^{ln2}\)
\(= e^{ln2 + 1} – e^{-ln2} – (e – 1)\)
\(= e^{ln2}.e^1 – (e^{ln2})^{-1} – e + 1\)
\(= 2.e – 2^{-1} – e + 1\)
\(= 2e – \frac{1}{2} – e +1\)
\(= e + \frac{1}{2}\)
Câu d: \(\int_0^πsin2xcos^2xdx\)
Phương pháp giải: Sử dụng công thức hạ bậc: \(cos^2x = \frac{1 + cos2x}{2}\)
Giải: \(sin2xcos^2x = sin2x \frac{1 + cos2x}{2}\)
\(= \frac{1}{2}sin2x + \frac{1}{2}sin2xcos2x\)
\(= \frac{1}{2}sin2x + \frac{1}{4}sin4x\)
\(⇒ \int_0^πsin2xcos^2xdx = \int_0^π(\frac{1}{2}sin2x + \frac{1}{4}sin4x)dx\)
\(= (-\frac{1}{4}cos2x – \frac{1}{16}cos4x)\Bigg|_0^π\)
\(= -\frac{1}{4} – \frac{1}{16} – (-\frac{1}{4} – \frac{1}{16}) = 0\)
Câu a: \(\int_0^2|1 – x|dx\)
Ta có: \(|1 – x| = \begin{cases}1 – x \, \,với \, \,0 ≤ x ≤1\\x – 1 \, \,với \, \,1 ≤ x ≤ 2\end{cases}\)
Do đó: \(\int_0^2|1 – x|dx = \int_0^2(1 – x)dx + \int_0^2(x – 1)dx\)
\(= (x – \frac{x^2}{2})\Bigg|_0^1 + (\frac{x^2}{x} – x)\Bigg|_1^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\)
Câu b: \(\int_0^{\frac{π}{2}}sin^2xdx\)
\(= \frac{1}{2}\int_0^{\frac{π}{2}}(1 – cos2x)dx\)
\(= \frac{1}{2}(x – \frac{1}{2}sin2x)\Bigg|_0^{\frac{π}{2}} = \frac{π}{4}\)
Câu c: \(\int_0^{ln2}\frac{e^{2x + 1} + 1}{e^x}dx\)
\(\int_0^{ln2}(e^{x + 1} + e^{-x})dx\)
\(= \int_0^{ln2}e^{x + 1}dx + \int_0^{ln2}e^{-x}dx\)
\(= \int_0^{ln2}e^{x + 1}d(x + 1) – \int_0^{ln2}e^{-x}d(-x)\)
\(= e^{x + 1}\Bigg|_0^{ln2} – e^{-x}\Bigg|_0^{ln2}\)
\(= e^{ln2 + 1} – e^1 – e^{-ln2} + 1\)
\(= e^{ln2 + 1} – \frac{1}{e^{ln2}} – (e – 1) = e + \frac{1}{2}\)
Câu d: \(\int_0^πsin2xcos^2xdx\)
\(= 2\int_0^πsinx.cos^3xdx\)
\(= -2\int_0^πcos^3xd(cosx) = -2.\frac{1}{4}cos^4x\Bigg|_0^π\)
\(= -\frac{1}{2}(cos^4π – cos^40) = 0\)
Câu a: \(\int_0^2|1 – x|dx\)
Ta có \(|1 – x| = \begin{cases}1 – x\, \, với \, \, 0 ≤ x ≤ 1\\x – 1 \, \, với \, \, 1 ≤ x ≤ 2\end{cases}\)
\(⇒ \int_{0}^{2}|1 – x|dx = \int_{0}^{1}(1 – x)dx + \int_{1}^{2}(x – 1)dx\)
\(= (x – \frac{x^2}{2})|_{0}^{1} + (\frac{x^2}{2} – x)|_{1}^{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\)
Câu b: \(\int_0^{\frac{π}{2}}sin^2xdx\)
Ta có: \(\int_{0}^{\frac{π}{2}}sin^2xdx = \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{π}{2}}(1 – cos2x)dx\)
\(= (\frac{x}{2} – \frac{1}{4}sin2x)\Bigg|_{0}^{\frac{π}{2}} = \frac{π}{4}\)
Câu c: \(\int_0^{ln2}\frac{e^{2x + 1} + 1}{e^x}dx\)
Ta có: \(\int_{0}^{ln2}\frac{e^{2x + 1} + 1}{e^x}dx\)
\(= \int_{0}^{ln2}e^{x + 1}dx + \int_{0}^{ln2}e^{-x}dx\)
Câu d: \(\int_0^πsin2xcos^2xdx\)
Ta có: \(\int_{0}^{π}sin2xcos^2xdx = 2\int_{0}^{π}sinxcos^3xdx\)
\(= -2\int_{0}^{π} cos^3xd(cosx) = -\frac{cos^4x}{2}\Bigg|_{0}^{π} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0\)
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 2 Trang 112 SGK Giải Tích Lớp 12 Của Bài 2: Tích Phân Thuộc Chương III: Nguyên Hàm – Tích Phân & Ứng Dụng Môn Giải Tích Lớp 12. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Giải Tích Lớp 12.
Trả lời