Chương III: Nguyên Hàm – Tích Phân & Ứng Dụng – Giải Tích Lớp 12
Bài 2: Tích Phân
Bài Tập 4 Trang 113 SGK Giải Tích Lớp 12
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, hãy tính:
a. \(\)\(\int_0^{\frac{π}{2}}(x + 1)sin xdx\)
b. \(\int_1^ex^2lnxdx\)
c. \(\int_0^1ln(1 + x)dx\)
d. \(\int_0^1(x^2 – 2x – 1)e^{-x}dx\)
Lời Giải Bài Tập 4 Trang 113 SGK Giải Tích 12
Câu a: \(\int_0^{\frac{π}{2}}(x + 1)sinxdx\)
Phương pháp giải: Phương pháp tích phân từng phần: \(\int_a^budv = uv\int_a^b – \int_a^bvdu\)
Đặt \(\begin{cases}u = x + 1\\dv = sinxdx\end{cases}\)
Giải: Đặt \(\begin{cases}u = x + 1\\dv = sinxdx\end{cases} ⇒ \begin{cases}du = dx\\v = -cosx\end{cases}\)
\(⇒ \int_0^{\frac{π}{2}}(x + 1)sinxdx\)
\(= -(x + 1)cosx\Bigg|_0^{\frac{π}{2}} + \int_0^{\frac{π}{2}}cosxdx\)
\(= -(x + 1)cosx\Bigg|_0^{\frac{π}{2}} + sinx\Bigg|_0^{\frac{π}{2}}\)
\(= -(\frac{π}{2} + 1)cos\frac{π}{2} + (0 + 1) cos0 + sin\frac{π}{2} – sin0\)
\(= 0 + 1 + 1 – 0 = 2\)
Câu b: \(\int_1^ex^2lnxdx\)
Phương pháp giải: Phương pháp tích phân từng phần: \(\int_a^budv = uv\Bigg|_a^b – \int_a^bvdu\)
Đặt \(\begin{cases}u = lnx\\dv = x^2dx\end{cases}\)
Giải: Đặt: \(\begin{cases}u = lnx\\dv = x^2dx\end{cases} ⇒ \begin{cases}du = \frac{dx}{x}\\v = \frac{x^3}{3}\end{cases}\)
\(⇒ \int_1^ex^2lnxdx\)
\(= (lnx.\frac{x^3}{3})\Bigg|_1^e – \frac{x^3}{9}\Bigg|_1^e\)
\(= lne.\frac{e^3}{3} – ln1.\frac{1^3}{3} – (\frac{e^3}{9} – \frac{1^3}{9})\)
\(= \frac{e^3}{3} – 0 – \frac{e^3}{9} + \frac{1}{9}\)
\(= \frac{2e^3}{9} + \frac{1}{9}\)
\(= \frac{1}{9}(2e^3 + 1)\)
Câu c: \(\int_0^1ln(1 + x)dx\)
Phương pháp giải: Phương pháp tích phân từng phần: \(\int_a^budv = uv\Bigg|_a^b – \int_a^bvdu\)
Đặt \(\begin{cases}u = ln(1 + x)\\dv = dx\end{cases}\)
Giải: Đặt \(\begin{cases}u = ln(1 + x)\\dv = dx\end{cases} ⇒ \begin{cases}du = \frac{dx}{1 + x}\\v = x\end{cases}\)
\(⇒ \int_0^1ln(x + 1)dx\)
\(= (x.ln(1 + x))\Bigg|_0^1 – \int_0^1\frac{x}{x + 1}dx\)
\(= (x.ln(1 + x))\Bigg|_0^1 – \int_0^1\frac{x + 1 – 1}{x + 1}dx\)
\(= (x.ln(1 + x))\Bigg|_0^1 – \int_0^1(1 – \frac{1}{x + 1})dx\)
\(= (x.ln(1 + x))\Bigg|_0^1 – (x – ln|x + 1|)\Bigg|_0^1\)
\(= 1.ln(1 + 1) – 0.ln(0 + 1) – (1 – ln|1 + 1| – 0 + ln|0 + 1|)\)
\(= ln2 – 1 + ln2\)
\(= 2ln2 – 1\)
Câu d: \(\int_0^1(x^2 – 2x – 1)e^{-x}dx\)
Phương pháp giải: Phương pháp tích phân từng phần: \(\int_a^budv = uv\Bigg|_a^b – \int_a^bvdu\)
Đặt \(\begin{cases}u = x^2 – 2x – 1\\dv = e^{-x}dx\end{cases}\)
Giải: Đặt \(\begin{cases}u = x^2 – 2x + 1\\dv = e^{-x}dx\end{cases} ⇒ \begin{cases}du = (2x – 2)dx\\v = -e^{-x}\end{cases}\)
\(⇒ \int_0^1(x^2 – 2x – 1)e^{-x}dx\)
\(= -e^{-x}(x^2 – 2x – 1)\Bigg|_0^1 + 2\int_0^1(x – 1)e^{-x}dx\)
\(= -e^{-x}(x^2 – 2x – 1)\Bigg|_0^1 + 2I_1\)
\(= 2e^{-1} – 1 + 2I_1\)
Đặt \(\begin{cases}u = x – 1\\dv = e^{-x}\end{cases} ⇒ \begin{cases}du = dx\\v = -e^{-x}\end{cases}\)
\(⇒ I_1 = -e^{-x}(x – 1)\Bigg|_0^1 + \int_0^1e^{-x}dx\)
\(= -e^{-x}(x – 1)\Bigg|_0^1 – e^{-x}\Bigg|_0^1\)
\(= -1 – (e^{-1} – 1) = -e^{-1}\)
Vậy \(I = 2e^{-1} – 1 – 2e^{-1} = -1\)
Câu a: \(\int_0^{\frac{π}{2}}(x + 1)sin xdx\)
Đặt \(\begin{cases}u = x + 1\\dv = sinx.dx\end{cases} ⇒ \begin{cases}du = dx\\v = -cosx\end{cases}\)
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần ta có:
\(\int_0^{\frac{π}{2}}(x + 1)sinxdx = -(x + 1)cosx\Bigg|_0^{\frac{π}{2}} + \int_0^{\frac{π}{2}}cosxdx\)
\(= -[(\frac{π}{2} + 1).cos\frac{π}{2} – cos 0] + sin\Bigg|_0^{\frac{π}{2}} = 2\)
Câu b: \(\int_1^ex^2lnxdx\)
Đặt \(\begin{cases}u = lnx\\dv = x^2dx\end{cases} ⇒ \begin{cases}du = \frac{dx}{x}\\v = \frac{x^3}{3}\end{cases}\)
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần ta có:
\(\int_1^ex^2lnxdx = \frac{x^3}{3}lnx\Bigg|_1^e – \frac{1}{3}\int_1^ex^2dx\)
\(= \frac{e^3}{3} – \frac{1}{9}x^3\Bigg|_1^e\)
\(= \frac{e^3}{3} – \frac{1}{9}(e^3 – 1) = \frac{2}{9}e^3 + \frac{1}{9}\)
Câu c: \(\int_0^1ln(1 + x)dx\)
Đặt \(\begin{cases}u = ln(1 + x)\\dv = dx\end{cases} ⇒ \begin{cases}du = \frac{1}{1 + x}dx\\v = x\end{cases}\)
Ta có: \(\int_0^1ln(1 + x)dx = xln(1 + x)\Bigg|_0^1 – \int_0^1\frac{x}{1 + x}dx\)
\(= ln2 – \int_0^1\frac{x + 1 – 1}{1 + x}dx\)
\(= ln2 – \int_0^1dx + \int_0^1\frac{dx}{1 + x}\)
\(= ln2 – x\Bigg|_0^1 + ln(1 + x)\Bigg|_0^1\)
\(= ln2 – 1 + ln2 = 2ln2 – 1\)
Câu d: \(\int_0^1(x^2 – 2x – 1)e^{-x}dx\)
Đặt \(\begin{cases}u = x^2 – 2x – 1\\dv = e^xdx\end{cases} ⇒ \begin{cases}du = (2x – 2)dx\\v = -e^{-x}\end{cases}\)
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần ta có:
\(\int_0^1(x^2 – 2x – 1)e^{-x}dx\)
\(= -e^{-x}(x^2 – 2x – 1)\Bigg|_0^1 + \int_0^1(2x – 2)e^{-x}dx\)
\(= \frac{2}{e} – 1 + 2\int_0^1(x – 1)e^{-x}dx\)
Tiếp tục đặt: \(\begin{cases}u_1 = x – 1\\dv_1 = e^{-x}dx\end{cases} ⇒ \begin{cases}du_1 = du\\v_1 = -e^{-x}\end{cases}\)
Ta có: \(\int_0^1(x – 1)e^{-x}dx = -e^{-x}(x – 1)\Bigg|_0^1 + \int_0^1e^{-x}dx\)
\(= -1 – e^{-x}\Bigg|_0^1 = -1 – \frac{1}{e} + 1 = -\frac{1}{e}\)
Vậy \(\int_0^1(x^2 – 2x – 1)e^{-x}dx = \frac{2}{e} – 1 – \frac{2}{e} = -1\)
Câu a: \(\int_0^{\frac{π}{2}}(x + 1)sin xdx\)
Đặt \(u(x) = x +1, sinxdx = dv(x)\)
\(⇒ du(x) = dx, v(x) = -cosx\)
\(\int_0^{\frac{π}{2}}(x + 1)sinxdx = -(x + 1)cosx\Bigg|_0^{\frac{π}{2}} + \int_0^{\frac{π}{2}}cosxdx\)
\(= [sinx – (x + 1)cosx]\Bigg|_0^{\frac{π}{2}} = 2\)
Câu b: \(\int_1^ex^2lnxdx\)
Đặt \(u = lnx, x^2dx = dv\)
\(⇒ du = \frac{dx}{x}; v = \frac{x^3}{3}\)
\(\int_1^ex^2lnxdx = \frac{x^3}{3}lnx\Bigg|_1^e – \frac{1}{3}\int_1^e\frac{x^3}{x}dx\)
\(= \frac{1}{3}e^3 – \frac{x^3}{9}\Bigg|_1^e = \frac{2e^3 + 1}{9}\)
Câu c: \(\int_0^1ln(1 + x)dx\)
Đặt \(u = ln(1 + x), dv = dx\)
\(⇒ du = \frac{dx}{1 + x’}v = x\)
\(\int_0^1ln(1 + x)dx = xln(1 + x)\Bigg|_0^1 – \int_0^1\frac{x}{1 + x}dx\)
\(= ln2 – (x – ln(1 + x))\Bigg|_0^1 = 2ln2 – 1\)
Câu d: \(\int_0^1(x^2 – 2x – 1)e^{-x}dx\)
Đặt \(u = x^2 – 2x + 1; dv = e^{-x}dx\)
\(⇒ du = 2x – 2; v = -e^x\)
\(\int_0^1(x^2 – 2x – 1)e^{-x}dx\)
\(= (-x^2 + 2x + 1)e^{-x}\Bigg|_0^1 + 2\int_0^1(x – 1)e^{-x}dx\)
\(=2e^{-1} – 1 + 2[(1 – x)e^{-x}\Bigg|_0^1 + \int_0^1e^{-x}dx]\)
\(= 2e^{-1} – 1 – 2xe^{-x}\int_0^1 = -1\)
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 4 Trang 113 SGK Giải Tích Lớp 12 Của Bài 2: Tích Phân Thuộc Chương III: Nguyên Hàm – Tích Phân & Ứng Dụng Môn Giải Tích Lớp 12. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Giải Tích Lớp 12.
Trả lời