Chương III: Nguyên Hàm – Tích Phân & Ứng Dụng – Giải Tích Lớp 12
Bài 2: Tích Phân
Bài Tập 5 Trang 113 SGK Giải Tích Lớp 12
Tính các tính phân sau:
a. \(\)\(\int_0^1(1 + 3x)^{\frac{3}{2}}dx\)
b. \(\int_0^{\frac{1}{2}}\frac{x^3 – 1}{x^2 – 1}dx\)
c. \(\int_1^2\frac{ln(1 + x)}{x^2}dx\)
Lời Giải Bài Tập 5 Trang 113 SGK Giải Tích 12
Câu a: \(\int_0^1(1 + 3x)^{\frac{3}{2}}dx\)
Phương pháp giải: \(\int (ax + b)^n = \frac{1}{a} \frac{(ax + b)^{n + 1}}{n + 1} + C\)
Giải: \(\int_0^1(1 + 3x)^{\frac{3}{2}}dx = \frac{1}{3}.\frac{(1 + 3x)^{\frac{3}{2} + 1}}{\frac{3}{2} + 1}\Bigg|_0^1\)
\(= \frac{2}{15}.(1 + 3x)^{\frac{5}{2}}\Bigg|_0^1 = \frac{2}{15}(4^{\frac{5}{2}} – 1)\)
\(= \frac{2}{15}.31 = \frac{62}{15}\)
Câu b: \(\int_0^{\frac{1}{2}}\frac{x^3 – 1}{x^2 – 1}dx\)
Phương pháp giải:
– Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn phân thức trong dấu tích phân.
– Chia tử số cho mẫu số.
Giải: \(\int_0^{\frac{1}{2}}\frac{x^3 – 1}{x^2 – 1}dx = \int_0^{\frac{1}{2}}\frac{(x – 1)(x^2 + x + 1)}{(x – 1)(x + 1)}dx\)
\(= \int_0^{\frac{1}{2}}\frac{x^2 + x + 1}{x + 1}dx = \int_0^{\frac{1}{2}}\frac{x(x + 1) + 1}{x + 1}dx\)
\(= \int_0^{\frac{1}{2}}(x + \frac{1}{x + 1})dx = (\frac{x^2}{2} + ln|x + 1|)\Bigg|_0^{\frac{1}{2}}\)
\(= \frac{1}{8} + ln\frac{3}{2}\)
Câu c: \(\int_1^2\frac{ln(1 + x)}{x^2}dx\)
Phương pháp giải: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, đặt \(\begin{cases}u = ln(1 + x)\\dv = \frac{1}{x^2}dx\end{cases}\)
Giải: Đặt: \(\begin{cases}u = ln(1 + x)\\dv = \frac{1}{x^2}dx\end{cases} ⇒ \begin{cases}du = \frac{1}{1 + x}dx\\v = -\frac{1}{x}\end{cases}\)
\(⇒ \int_1^2\frac{ln(1 + 2)}{x^2}dx = -\frac{1}{x}ln(1 + x)\Bigg|_1^2 + \int_1^2\frac{dx}{x(1 + x)}\)
\(= -\frac{1}{2}ln3 + ln2 + \int_1^2(\frac{1}{x} – \frac{1}{1 + x})dx\)
\(= -\frac{1}{2}ln3 + ln2 + ln|\frac{x}{1 + x}|\Bigg|_1^2\)
\(= -\frac{1}{2}ln3 + ln2 + ln\frac{2}{3} – ln\frac{1}{2}\)
\(= ln\frac{1}{\sqrt{3}} + ln2 + ln\frac{2}{3} – ln\frac{1}{2}\)
\(= -\frac{1}{2}ln3 + ln2 + ln2 – ln3 + ln2\)
\(= 3ln2 – \frac{3}{2}ln3\)
Câu a: \(\int_0^1(1 + 3x)^{\frac{3}{2}}dx\)
Đặt \(u = 1 + 3x\) ta có: \(du = 3dx\)
Khi \(x = 0\) thì \(u = 1\); khi \(x = 1\) thì \(u = 4\).
Do đó: \(\int_0^1(1 + 3x)^{\frac{3}{2}}dx = \frac{1}{3}\int_0^4u^{\frac{3}{2}}du\)
\(= \frac{1}{3}\frac{2}{5}u^{\frac{5}{2}}\Bigg|_0^4\)
\(= \frac{2}{15}(4^{\frac{5}{2}} – 1) = \frac{62}{15}\)
Câu b: \(\int_0^{\frac{1}{2}}\frac{x^3 – 1}{x^2 – 1}dx\)
\(\int_0^{\frac{1}{2}}\frac{x^3 – 1}{x^2 – 1}dx = \int_0^{\frac{1}{2}}\frac{(x – 1)(x^2 + x + 1)}{(x – 1)(x + 1)}dx\)
\(= \int_0^{\frac{1}{2}}\frac{x(x + 1) + 1}{x + 1}dx\)
\(= \int_0^{\frac{1}{2}}(x + \frac{1}{x + 1})dx\)
\(= (\frac{x^2}{x} + ln|x + 1|)\Bigg|_0^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{8} + ln\frac{3}{2}\)
Câu c: \(\int_1^2\frac{ln(1 + x)}{x^2}dx\)
\(\begin{cases}u = ln(1 + x)\\dv = \frac{dx}{x^2}\end{cases} ⇒ \begin{cases}du = \frac{1}{1 + x}dx\\v = -\frac{1}{x}\end{cases}\)
Ta có: \(\int_1^2\frac{ln(1 + x)}{x^2}dx\)
\(= -\frac{1}{x}ln(1 + x)\Bigg|_1^2 + \int_1^2\frac{dx}{x(1 + x)}\)
\(= -\frac{1}{2}ln3 + ln2 + \int_1^2\frac{dx}{x(1 + x)}\)
Xét \(\int_1^2\frac{dx}{(x + 1)x}\)
Ta có: \(\frac{1}{x(1 + x)} = \frac{1}{x} – \frac{1}{x + 1}\)
Do đó: \(\int_1^2\frac{dx}{x(x + 1)} = \int_1^2(\frac{1}{x} – \frac{1}{x + 1})dx\)
\(= \int_1^2\frac{dx}{x} – \int_1^2\frac{dx}{x + 1}\)
\(= lnx\Bigg|_1^2 – ln(1 + x)\Bigg|_1^2 = ln2 – ln3 + ln2\)
Vậy \(\int_1^2\frac{ln(1 + x)}{x^2}dx = -\frac{1}{2}ln3 + ln2 + ln2 – ln3 + ln2\)
\(= 3ln2 – \frac{3}{2}ln3 = ln8 – \frac{3}{2}ln3 = 3ln\frac{2\sqrt{3}}{3}\)
Câu a: \(\int_0^1(1 + 3x)^{\frac{3}{2}}dx\)
Đặt \(u = 1 + 3x ⇒ du = 3dx\)
\(x = 0 ⇒ u = 1; x = 1 ⇒ u = 4\)
\(\int_0^1(1 + 3x)^{\frac{3}{2}}dx = \frac{1}{3}\int_1^4u^{\frac{3}{2}}du\)
\(= \frac{2}{15}(32 – 1) = \frac{62}{15}\)
Câu b: \(\int_0^{\frac{1}{2}}\frac{x^3 – 1}{x^2 – 1}dx\)
Ta có: \(\frac{x^3 – 1}{x^2 – 1} = \frac{(x – 1)(x^2 + x + 1)}{(x – 1)(x + 1)} = x + \frac{1}{x + 1}\)
\(\int_0^{\frac{1}{2}}\frac{x^2 – 1}{x^2 – 1}dx = \int_0^{\frac{1}{2}}xdx + \int_0^{\frac{1}{2}}\)
\(= \frac{1}{8} + ln(\frac{3}{2})\)
Câu c: \(\int_1^2\frac{ln(1 + x)}{x^2}dx\)
Đặt \(u = ln(1 + x), dv = \frac{dx}{x^2}\)
\(⇒ du = \frac{1}{1 + x}dx; v = -\frac{1}{x}\)
\(\int_1^2\frac{ln(1 + x)}{x^2}dx = -\frac{ln(1 + x)}{x}\Bigg|_1^2 + \int_1^2\frac{1}{x(x + 1)}dx (*)\)
Ta có: \(\int_1^2\frac{1}{x(1 + x)}dx = \int_1^2[\frac{1}{x} – \frac{1}{x + 1}]dx\)
\(= ln(\frac{x}{x + 1})\Bigg|_1^2 = 2ln2 – ln3\)
Thay kết quả trên vào (*) ta được \(I = 3ln(\frac{2}{\sqrt{3}})\)
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 5 Trang 113 SGK Giải Tích Lớp 12 Của Bài 2: Tích Phân Thuộc Chương III: Nguyên Hàm – Tích Phân & Ứng Dụng Môn Giải Tích Lớp 12. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Giải Tích Lớp 12.
Trả lời