Chương III: Nguyên Hàm – Tích Phân & Ứng Dụng – Giải Tích Lớp 12
Bài 2: Tích Phân
Bài Tập 3 Trang 113 SGK Giải Tích Lớp 12
Sử dụng phương pháp đổi biến số, hãy tính:
a. \(\)\(\int_0^3\frac{x^2}{(1 + x)^{\frac{3}{2}}}dx\) (đặt u = x + 1)
b. \(\int_0^1\sqrt{1 – x^2}dx\) (đặt x = sint)
c. \(\int_0^1\frac{e^x(1 + x)}{1 + xe^x}dx\) (đặt \(u = 1 + xe^x\))
d. \(\int_0^{\frac{a}{2}}\frac{1}{\sqrt{a^2 – x^2}}dx (a > 0)\) (đặt x = asint)
Lời Giải Bài Tập 3 Trang 113 SGK Giải Tích 12
Câu a: \(\int_0^3\frac{x^2}{(1 + x)^{\frac{3}{2}}}dx\) (đặt u = x + 1)
Phương pháp giải: Đặt u = x + 1 và sử dụng công thức nguyên hàm cỏ bản:
\(\int x^αdx = \frac{x^{α + 1}}{α + 1} + C (α ≠ -1)\)
Giải: Đặt u = x + 1 ⇒ du = dx và x = u – 1
Đổi cận: \(\begin{cases}x = 0 ⇒ u = 1\\x = 3 ⇒ u = 4\end{cases}\)
\(\int_0^3\frac{x^2}{(1 + x)^{\frac{3}{2}}}dx = \int_1^4\frac{(u – 1)^2}{u^{\frac{3}{2}}}du\)
\(= \int_1^4\frac{u^2 – 2u + 1}{u^{\frac{3}{2}}}du\)
\(= \int_1^4(u^{\frac{1}{2}} – 2u^{-\frac{1}{2}} + u^{-\frac{2}{3}})du\)
\(= (\frac{u^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1} – 2.\frac{u^{-\frac{1}{2} + 1}}{-\frac{1}{2} + 1} + \frac{u^{-\frac{3}{2} + 1}}{-\frac{3}{2} + 1})\Bigg|_1^4\)
\(= (\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} – 4u^{\frac{1}{2}} – 2u^{-\frac{1}{2}})\Bigg|_1^4\)
\(= -\frac{11}{3} – (-\frac{16}{3}) = \frac{5}{3}\)
Câu b: \(\int_0^1\sqrt{1 – x^2}dx\) (Đặt x = sint)
Phương pháp giải: Đặt x = sint
Sử dụng công thức hạ bậc: \(cos^2α = \frac{1 + cos2α}{2}\)
Sử dụng công thức nguyên hàm: \(\int cos(ax + b)dx = \frac{sin(ax + b)}{a} + C\)
Giải: Đặt \(x = sint, 0 < t < \frac{π}{2}\). Ta có: dx = costdt
và \(\sqrt{1 – x^2} = \sqrt{1 – sin^2t} = \sqrt{cos^2t} = |cost| = cost\)
Đổi cận: \(\begin{cases}x = 0 ⇒ t = 0\\x = 1 ⇒ t = \frac{π}{2}\end{cases}\)
\(⇒ \int_0^1\sqrt{1 – x^2}dx\)
\(= \int_0^{\frac{π}{2}}\sqrt{1 – sin^2t}costdt\)
\(= \int_0^{\frac{π}{2}}cos^2tdt = \frac{1}{2}\int_0^{\frac{π}{2}}(1 + cos2t)dt\)
\(= \frac{1}{2}(t + \frac{sin2t}{2})\Bigg|_0^{\frac{π}{2}}\)
\(= \frac{1}{2}.\frac{π}{2} = \frac{π}{4}\)
Câu c: \(\int_0^1\frac{e^x(1 + x)}{1 + x.e^x}dx\) (Đặt \(u = 1 + x.e^x\))
Phương pháp giải: Đặt \(u = 1 + x.e^x\)
Giải: Đặt \(u = 1 + x.e^x\)
\(⇒ du = (e^x + x.e^x)dx = e^x(1 + x)dx\)
Đổi cận: \(\begin{cases}x = 0 ⇒ u = 1\\x = 1 ⇒ u = 1 + e\end{cases}\)
\(⇒ \int_0^1\frac{e^x(1 + x)}{1 + xe^x}dx = \int_1^{1 + e}\frac{du}{u} = ln|u|\Bigg|_1^{1 + e}\)
\(= ln(1 + e) – ln1 = ln(1 + e)\)
Câu d: \(\int_0^{\frac{a}{2}}\frac{1}{\sqrt{a^2 – x^2}}dx\) (Đặt x = asint)
Phương pháp giải: Đặt x = asint
Giải: Đặt x = asint ⇒ dx = acostdt
Đổi cận: \(\begin{cases}x = 0 ⇒ t = 0\\x = \frac{a}{2} ⇒ t = \frac{π}{6}\end{cases}\)
\(⇒ \int_0^{\frac{a}{2}}\frac{1}{\sqrt{a^2 – x^2}}dx = \int_0^{\frac{π}{6}}\frac{acostdt}{\sqrt{a^2 – a^2sin^2t}}\)
\(= \int_0^{\frac{π}{6}}\frac{acostdt}{acost} = \int_0^{\frac{π}{6}}dt = t\Bigg|_0^{\frac{π}{6}} = \frac{π}{6}\)
Câu a: \(\int_0^3\frac{x^2}{(1 + x)^{\frac{3}{2}}}dx\) (đặt u = x + 1)
Đặt \(u= x + 1\) ta có \(du = dx; x^2 = (u – 1)^2\)
Khi x = 0 thì u = 1; khi x = 3 thì u = 4. Khi đó:
\(\int_0^3\frac{x^2}{(1 + x)^{\frac{3}{2}}}dx = \int_1^4\frac{(u – 1)^2}{u^{\frac{3}{2}}} = \int_1^4\frac{u^2 – 2u + 1}{u^{\frac{3}{2}}}du\)
\(= \int_1^4(u^{\frac{1}{2}} – 2u^{\frac{1}{2}} + u^{\frac{3}{2}})du\)
\(= \int_1^4u^{\frac{1}{2}}du – 2\int_1^4u^{\frac{1}{2}}du + int_1^4u^{\frac{3}{2}}du\)
\(= \frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}\Bigg|_1^4 – 4u^{\frac{1}{2}}\Bigg|_1^4 – 2u\Bigg|_1^4\)
\(= \frac{16}{3} – \frac{2}{3} – (8 – 4) – 2(\frac{1}{2} – 1)\)
\(= \frac{14}{3} – 3 = \frac{5}{3}\)
Câu b: \(\int_0^1\sqrt{1 – x^2}dx\) (đặt x = sint)
Đặt x = sint ta có: dx = costdt
Khi x = 0 thì t = 0; khi x = 1 thì \(t = \frac{π}{2}\). Do đó:
\(\int_0^1\sqrt{1 – x^2}dx = \int_0^{\frac{π}{2}}\sqrt{1 – sin^2t}costdt\)
\(= \int_0^{\frac{π}{3}}|cost|.costdt = \int_0^{\frac{π}{3}}cos^2tdt\) (Vì \(cost ≥ 0, ∀t ∈ [0; \frac{π}{2}]\))
\(⇒ \int_0^1\sqrt{1 – x^2}dx = \int_0^{\frac{π}{2}}cos^2tdt\)
\(= \frac{1}{2}\int_0^{\frac{π}{2}}(1 + cos2t)dt\)
\(= \frac{1}{2}\int_0^{\frac{π}{2}}dt + \frac{1}{4}\int_0^{\frac{π}{2}}cos2td(2t)\)
\(= \frac{1}{2}t\Bigg|_0^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{4}sin2t\Bigg|_0^{\frac{π}{2}}\)
\(= \frac{π}{4} + 0 = \frac{π}{4}\)
Vậy \(\int_0^1\sqrt{1 – x^2}dx = \frac{π}{4}\)
Câu c: \(\int_0^1\frac{e^x(1 + x)}{1 + xe^x}dx\) (đặt \(u = 1 + xe^x\))
Đặt \(u= x.e^x\) ta có: \(du = (e^x + x.e^x)dx = e^x(x + 1)dx\)
Khi x = 0 thì u = 0; khi x = 1 thì u = e
Do đó: \(\int_0^1\frac{e^x(x + 1)}{1 + x.e^x}dx = \int_0^e\frac{du}{1 + u}\)
\(= ln(1 + u)\Bigg|^e_0 = ln(e + 1)\)
Câu d: \(\int_0^{\frac{a}{2}}\frac{1}{\sqrt{a^2 – x^2}}dx (a > 0)\) (đặt x = asint)
Đặt x = asint ta có: dx = acostdt
Khi x = 0 thì t = 0; khi \(x = \frac{a}{2}\) thì \(t = \frac{π}{6}\). Do đó:
\(\int_0^{\frac{a}{2}}\frac{1}{\sqrt{a^2 – x^2}}dx = \int_0^{\frac{π}{6}}\frac{acostdt}{\sqrt{a^2 – a^2sin^2t}}\)
\(= \int_0^{\frac{π}{6}}\frac{a.costdt}{|acost|}\)
Vì a > 0 và \(cost ≥ 0, ∀t ∈ [0; \frac{π}{6}]\)
Nên \(\int_0^{\frac{π}{6}}\frac{a.cost.dt}{a.cost} = \int_0^{\frac{π}{6}}dt = t\Bigg|_0^{\frac{π}{6}} = \frac{π}{6}\)
Vậy \(\int_0^{\frac{a}{2}}\frac{1}{\sqrt{a^2 – x^2}}dx = \frac{π}{6}\)
Câu a: \(\int_0^3\frac{x^2}{(1 + x)^{\frac{3}{2}}}dx\) (đặt u = x + 1)
Đặt u = x + 1 ⇒ du = dx, ta có: x = 0 ⇒ u = 1
x = 3 ⇒ u = 4
Ta có: \(\int_0^3\frac{x^2}{(x + 1)^{\frac{3}{2}}}dx = \int_{1}^{4}\frac{(u – 1)^2}{u^{\frac{3}{2}}}du\)
\(\int_1^4\frac{u^2 – 2u + 1}{u^{\frac{3}{2}}}du = (\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} – 4u^{\frac{1}{2}} – 2u^{-\frac{1}{2}})|_{1}^{4}\)
\(= -\frac{11}{3} + \frac{16}{3} = \frac{5}{3}\)
Câu b: \(\int_0^1\sqrt{1 – x^2}dx\) (đặt x = sint)
Đặt \(x = sint, t ∈ [0; \frac{π}{2}], dx = costdt\)
\(x = 0 ⇒ t = 0\)
\(x = 1 ⇒ t = \frac{π}{2}\)
Ta có: \(\int_0^1\sqrt{1 – x^2}dx = \int_0^{\frac{π}{2}}\sqrt{1 – sin^2t}costdt\)
\(= \int_0^{\frac{π}{2}}cos^2tdt = \frac{1}{2}\int_0^{\frac{π}{2}} (1 + cos2t)dt\)
\(= (\frac{t}{2} + \frac{1}{4}sin2t)\int_0^{\frac{π}{2}} = \frac{π}{4}\)
Câu c: \(\int_0^1\frac{e^x(1 + x)}{1 + xe^x}dx\) (đặt \(u = 1 + xe^x\))
Đặt \(u = 1 + xe^x ⇒ du = e^x (1 + x)dx\)
\(x = 0 ⇒ u = 1\)
\(x = 1 ⇒ u = 1 + e\)
\(⇒ \int_0^1\frac{e^x(1 + x)}{1 + xe^x}dx = \int_0^{1 + e}\frac{du}{u}\)
\(= lnu|_1^{1 + e} = ln(1 + e)\)
Câu d: \(\int_0^{\frac{a}{2}}\frac{1}{\sqrt{a^2 – x^2}}dx (a > 0)\) (đặt x = asint)
Đặt x = asint ⇒ dx = acostdt
\(x = 0 ⇒ t = 0\)
\(x = \frac{a}{2} ⇒ t = \frac{π}{6}\)
\(⇒ \int_0^{\frac{a}{2}}\frac{1}{\sqrt{a^2 – x^2}}dx\)
\(= \int_0^{\frac{π}{2}}\frac{acost}{acost}dt\)
\(= t|_0^{\frac{π}{6}} = \frac{π}{6}\)
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 3 Trang 113 SGK Giải Tích Lớp 12 Của Bài 2: Tích Phân Thuộc Chương III: Nguyên Hàm – Tích Phân & Ứng Dụng Môn Giải Tích Lớp 12. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Giải Tích Lớp 12.
Trả lời