Chương I: Phép Dời Hình Và Phép Đồng Dạng Trong Mặt Phẳng – Hình Học Lớp 11
Bài 2: Phép Tịnh Tiến
Bài Tập 3 Trang 7 SGK Hình Học Lớp 11
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho vectơ \(\)\(\vec{v} = (-1; 2)\), hai điểm A(3; 5), B(-1; 1) và đường thẳng d có phương trình \(x – 2y + 3 = 0\).
a. Tìm toạ độ của các điểm A’, B’ theo thứ tự là ảnh của A, B qua phép tịnh tiến theo \(\vec{v}\).
b. Tìm toạ độ của điểm C sao cho A là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo \(\vec{v}\).
c. Tìm phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo \(\vec{v}\).
Lời Giải Bài Tập 3 Trang 7 SGK Hình Học Lớp 11
Câu a: Tìm toạ độ của các điểm A’, B’ theo thứ tự là ảnh của A, B qua phép tịnh tiến theo \(\vec{v}\).
Phương pháp giải: Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến: Phép tịnh tiến theo vectơ \(\vec{v}(a; b)\) biến điểm M(x; y) thành điểm M'(x; y’). Khi đó \(\overrightarrow{MM’} = \vec{v} ⇔ \begin{cases}x’ – x = a\\y’ – y = b\end{cases}\)
\(⇔ \begin{cases}x’ = x + a\\y’ = y + b\end{cases}\)
Giải:
Giả sử \(A’ = (x’; y’)\). Khi đó
\(T_{\vec{v}} = A’\)
\(⇔ \overrightarrow{AA’} = \vec{v} ⇔ \begin{cases}x’ – 3 = -1\\y’ – 5 = 2\end{cases}\)
\(⇔ \begin{cases}x’ = 3 – 1 = 2\\y’ = 5 + 2 = 7\end{cases} ⇒ A’ = (2; 7)\)
\(T_{\vec{v}}(B) = B’ ⇔ \overrightarrow{BB’} = \vec{v} ⇔ \begin{cases}x’ – (-1) = -1\\y’ – 1 = 2\end{cases}\)
\(⇔ \begin{cases}x’ = -1 – 1\\y’ = 1 + 2\end{cases} ⇔ \begin{cases}x’ = -2\\y’ = 3\end{cases} ⇒ B'(-2; 3)\)
Câu b: Tìm toạ độ của điểm C sao cho A là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo \(\vec{v}\).
\(T_{\vec{v}}(C) = A ⇔ \overrightarrow{CA} = \vec{v} ⇔ \begin{cases}x_A – x_C = -1\\y_A – y_C = 2\end{cases} ⇔ \begin{cases}x_C = x_A + 1\\y_C = y_A – 2\end{cases}\)
\(⇔ \begin{cases}x_C = 3 + 1 = 4\\y_C = 5 – 2 = 3\end{cases} ⇒ C(4; 3)\)
Cách khác
Ta có \(A = T_{\vec{v}}(C) ⇔ C = T_{-\vec{v}}(A)\) (với \(-\vec{v} = (1; -2)\))
\(⇒ \begin{cases}x’ = 3 + 1 = 4\\y’ = 5 – 2 = 3\end{cases} ⇒ C(4; 3)\)
Câu c: Tìm phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo \(\vec{v}\).
Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
Cách 1: Dùng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến
Gọi M(x; y) bất kì thuộc d, \(M’ = T_{\vec{v}}(M) = (x’; y’)\) nên M’ thuộc d’.
Khi đó
\(M’ = T_{\vec{v}}(M) ⇔ \begin{cases}x’ = x – 1\\y’ = y + 2\end{cases} ⇔ \begin{cases}x = x’ + 1\\y = y’ – 2\end{cases}\)
Ta có \(M ∈ d ⇔ x – 2y + 3 = 0 ⇔ (x’ + 1) – 2(y’ – 2) + 3 = 0\)
\(⇔ x’ – 2y’ + 8 = 0\)
⇔ M’ ∈ d’ có phương trình \(x – 2y + 8 = 0\)
Vậy \(T_{\vec{v}}(d) = d’: x – 2y + 8 = 0\)
Cách 2: Dùng tính chất của phép tịnh tiến
Gọi \(T_{\vec{v}}(d) = d’\).
Khi đó d’ song song hoặc trùng với d nên phương trình của nó có dạng \(x – 2y + C = 0\).
Lấy một điểm thuộc d chẳng hạn B(-1; 1), khi đó gọi
\(B’ = T_{\vec{v}}(B) ⇒ \begin{cases}x’ = -1 – 1 = -2\\y’ = 1 + 2 = 3\end{cases} ⇒ B'(-2; 3) ∈ d’\)
\(⇒ -2 – 2.3 + C = 0 ⇔ C = 8\)
Vậy phương trình đường thẳng (d’): \(x – 2y + 8 = 0\)
Biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến \(T_{\overrightarrow v}\) là \(\left\{\begin{matrix} x’ =x-1\\ y’=x+2 \end{matrix}\right.\)
Câu a: Tìm toạ độ của các điểm A’, B’ theo thứ tự là ảnh của A, B qua phép tịnh tiến theo \(\vec{v}\).
Gọi \(A(x_A; y_A)\); \(B(x_B; y_B)\) ta có:
\(\begin{cases}x_A’ = x_A – 1\\y_A’ = y_A + 2\end{cases} ⇔ \begin{cases}x_A’ = 3 – 1 = 2\\y_A’ = 5 + 2 = 7\end{cases}\) hay A'(2; 7).
\(\begin{cases}x_B’ = x_A – 1\\y_B’ = y_A + 2\end{cases} ⇔ \begin{cases}x_B’ = -2\\ y_B’ = 3\end{cases}\) hay B'(-2; 3).
Câu b: Tìm toạ độ của điểm C sao cho A là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo \(\vec{v}\).
A là ảnh của C qua \(T_{\vec{v}}\) thì ta có: \(\begin{cases}x_A = x_C – 1\\ y_A = y_C + 2\end{cases} ⇔ \begin{cases}x_C = x_A + 1 \\ y_C = y_A – 2\end{cases} ⇔ \begin{cases}x_C = 4\\ y_C = 3\end{cases}\) hay C(4; 3)
Câu c: Tìm phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo \(\vec{v}\).
Gọi \(M(x; y) ∈ d\)
\(M'(x’; y’) ∈ d’\) là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo vectơ.
Ta có: \(\overrightarrow{MM’} – \vec{v} ⇒ \begin{cases}x’ = x – 1\\y’ = y + 2\end{cases} ⇔ \begin{cases}x = x’ + 1\\y = y’ – 2\end{cases}\)
Thay vào phương trình đường thẳng d ta có:
\((x’ + 1) – 2(y’ – 2) + 3 = 0 ⇔ x’ – 2y’ + 8 = 0\)
Vậy phương trình của d’ là: \(x – 2y + 8 = 0\).
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 3 Trang 7 SGK Hình Học Lớp 11 Của Bài 2: Phép Tịnh Tiến Thuộc Chương I: Phép Dời Hình Và Phép Đồng Dạng Trong Mặt Phẳng Môn Hình Học Lớp 11. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Hình Học Lớp 11.
Trả lời