Chương II: Tổ Hợp – Xác Suất – Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Bài 5: Xác Suất Của Biến Cố
Bài Tập 4 Trang 74 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất. Giả sử con súc sắc xuất hiện mặt b chấm. Xét phương trình \(\)\(x^2 + bx + 2 = 0\). Tính xác suất sao cho:
a. Phương trình có nghiệm;
b. Phương trình vô nghiệm;
c. Phương trình có nghiệm nguyên.
Lời Giải Bài Tập 4 Trang 774 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Câu a: Phương trình có nghiệm;
Phương pháp giải: Phương trình bậc hai có nghiệm \((Δ ≥ 0)\)
Giải:
Không gian mẫu là \(Ω = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}, n(Ω) = 6\)
Ta có bảng:
Phương trình \(x^2 + bx + 2 = 0\) có nghiệm khi và chỉ khi \(Δ = b^2 – 8 ≥ 0 (*)\)
Vì vậy nếu A là biến cố: “Xuất hiện mặt b chấm sao cho phương trình \(x^2 + bx + 2 = 0\) có nghiệm”
thì \(A = \{3, 4, 5, 6\}, n(A) = 4\) và \(P(A) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\)
Cách khác
Phương trình (1) có nghiệm
\(⇔ Δ ≥ 0 ⇔ b ≥ 2\sqrt{2}\)
\(⇒ b ∈ {3; 4; 5; 6}\)
\(⇒ A = \{3, 4, 5, 6\}\)
\(⇒ n(A) = 4\)
\(P(A) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\)
Câu b: Phương trình vô nghiệm;
Phương pháp giải: Phương trình bậc hai vô nghiệm (Δ < 0)
Giải:
Biến cố B: “Xuất hiện mặt b chấm sao cho phương trình \(x^2 + bx + 2 = 0\) vô nghiệm”
Dễ thấy A và B là các biến cố đối
Theo qui tắc cộng xác suất ta có \(P(B) = 1 – P(A) = \frac{1}{3}\)
Cách khác:
Phương trình (1) vô nghiệm
\(⇔ Δ < 0 ⇔ b ≤ 2\sqrt{2}\)
\(⇒ b ∈ {1; 2}\)
\(⇒ B = {1, 2}\)
\(⇒ n(B) = 2\)
\(P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)
Câu c: Phương trình có nghiệm nguyên.
Phương pháp giải:
Điều kiện cần để phương trình bậc hai có nghiệm nguyên là Δ là số chính phương.
Giải:
C là biến cố: “Xuất hiện mặt b chấm sao cho phương trình \(x^2 + bx + 2 = 0\) có nghiệm nguyên”
Phương trình (1) có nghiệm
\(⇔ b ∈ \{3; 4; 5; 6\}\)
Thử các giá trị của b ta thấy:
Khi \(b = 3\) thì phương trình trở thành \(x^2 + 3x + 2 = 0 ⇔ \left[ \begin{gathered} x = -1 \\x = -2\\ \end{gathered} \right.\) (thỏa mãn)
Do đó \(C = {3} ⇒ n(C) = 1\)
Vậy \(P(C) = \frac{n(C)}{n(Ω)} = \frac{1}{6}\)
Không gian mẫu khi gieo con súc sắc cân đối và đồng chất:
\(Ω = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} ⇒ n(Ω) = 6\)
Đặt A là biến cố: “con súc sắc xuất hiện mặt B chấm”;
Xét : \(x^2 + bx + 2 = 0\) (1)
\(Δ = b^2 – 8\)
Câu a: Phương trình có nghiệm;
Để phương trình (1) có nghiệm thì:
\(Δ ≥ ⇒ b ≥ 3\)
\(⇒ A = \{3, 4, 5, 6\} ⇒ n(A) = 4\)
\(⇒ P(A) = \frac{n(A)}{n(Ω)} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\)
Câu b: Phương trình vô nghiệm;
Để phương trình (1) vô nghiệm thì
\(Δ < 0 ⇒ b ≤ 2\)
\(⇒ A = {1,2} ⇒ n(A) = 2\)
\(⇒ P(A) = \frac{n(A)}{n(Ω)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)
Câu c: Phương trình có nghiệm nguyên.
Nếu muốn phương trình (1) có nghiệm nguyên thì \(P(A) = \frac{1}{6}\)
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 4 Trang 74 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11 Của Bài 5: Xác Suất Của Biến Cố Thuộc Chương II: Tổ Hợp – Xác Suất Môn Đại Số Và Giải Tích Lớp 11. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Đại Số Và Giải Tích Lớp 11.
Trả lời