Chương II: Tổ Hợp – Xác Suất – Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Bài 5: Xác Suất Của Biến Cố
Bài Tập 7 Trang 75 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Có hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 6 quả trắng, 4 quả đen. Hộp thứ hai chứa 4 quả trắng, 6 quả đen. Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên một quả. Kí hiệu:
A là biến cố: “Quả lấy từ hộp thứ nhất trắng”;
B là biến cố: “Quả lấy từ hộp thứ hai trắng”.
a. Xét xem A và B có độc lập không.
b. Tính xác suất sao cho hai quả cầu lấy ra cùng màu.
c. Tính xác suất sao cho hai quả cầu lấy ra khác màu.
Lời Giải Bài Tập 7 Trang 75 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Câu a: Xét xem A và B có độc lập không.
Phương pháp giải:
Định nghĩa hai biến cố độc lập: Hai biến cố A, B được gọi là độc lập với nhau nếu sự xảy ra của biến cố A không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra biến cố B. A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi \(\)\(P(A.B) = P(A).P(B)\).
Giải:
Phép thử T được xét là: “Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên một quả cầu”.
Không gian mẫu là kết quả của việc lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu ở hộp thứ nhất và một quả cầu ở hộp thứ hai
– Có 10 cách lấy 1 quả cầu bất kì ở hộp 1 và có 10 cách lấy 1 quả cầu bất kì ở hộp 2. Nên số phần tử của không gian mẫu là;
\(⇒ n(Ω) = 10.10 = 100.\)
A: “Quả cầu lấy từ hộp thứ nhất trắng”
⇒ Có 6 cách lấy quả cầu màu trắng ở hộp A và 10 cách lấy quả cầu ở hộp B
\(⇒ n(A) = 6.10 = 60\).
Suy ra \(P(A) = \frac{60}{100} = 0,6.\)
B: “Quả cầu lấy từ hộp thứ hai trắng”
⇒ Có 4 cách lấy quả cầu màu trắng ở hộp B và 10 cách lấy quả cầu ở hộp A
\(⇒ n(B) = 4.10 = 40.\)
Suy ra \(P(B) = \frac{40}{100} = 0,4\)
A.B: “Cả hai quả cầu lấy ra đều trắng”
⇒ Có 6 cách lấy quả cầu màu trắng ở hộp A và 4 cách lấy quả cầu màu trắng ở hộp B
\(⇒ n(A.B) = 6.4 = 24.\)
Suy ra: \(P(A.B) = \frac{24}{100} = 0,24 = 0,6.0,4 = P(A).P(B)\)
Như vậy, ta có \(P(A.B) = P(A).P(B)\).
Suy ra A và B là hai biến cố độc lập với nhau.
Câu b: Tính xác suất sao cho hai quả cầu lấy ra cùng màu.
Phương pháp giải:
Gọi C là biến cố: “Hai quả cầu lấy ra cùng màu” ta có \(C = A.B + \overline{A}.\overline{B}\). Với \(\overline{A}; \overline{B}\) lần lượt là các biến cố đối của biến cố A và B.
Giải:
Gọi C là biến cố: “Lấy được hai quả cầu cùng màu”. Ta có
\(C = A.B + \overline{A}.\overline{B}\)
Trong đó \(\overline{A}\) = “Quả cầu lấy từ hộp thứ nhất có màu đen” và \(P(\overline{A}) = 0,4\).
\(\overline{B}\): “Quả cầu lấy từ hộp thứ hai có màu đen” và \(P(\overline{B}) = 0,6\).
Và ta có A.B và \(\overline{A}.\overline{B}\) là hai biến cố xung khắc với nhau.
A và B độc lập với nhau, nên \(\overline{A}\) và \(\overline{B}\) cũng độc lập với nhau.
Qua trên suy ra;
\(P(C) = P(A.B + \overline{A}.\overline{B})\)
\(= P(A.B) + P(\overline{A}.\overline{B}) = P(A).P(B) + P(\overline{A}).P(\overline{B})\)
\(= 0,6.0,4 + 0,4.0,6 = 0,48\)
Câu c: Tính xác suất sao cho hai quả cầu lấy ra khác màu.
Phương pháp giải: Gọi D là biến cố: “Hai quả cầu lấy ra khác màu” ta có \(D = \overline{C}\).
Giải:
Gọi D là biến cố: “Lấy được hai quả cầu khác màu”. Ta có
\(D = \overline{C} ⇒ P(D) = 1 – P(C) = 1 – 0,48 = 0,52\)
Câu a: Xét xem A và B có độc lập không.
Ta có số phần tử của không gian mẫu là: \(10 × 10 = 100\)
Ta có số trường hợp lấy ra một quả cầu trắng ở hộp thứ nhất là 6
Vậy số trường hợp lấy ra 1 quả cầu ở hộp thứ hai là 10. Ta có số trường hợp lấy ra quả cầu ở hộp thứ nhất trắng kết hợp với một quả cầu bất kỳ ở hộp thứ hai là \(6 × 10 = 60\).
\(P(A) = \frac{60}{100} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\)
Số trường hợp lấy ra qủa cầu thứ hai trắng với một quả cầu bất kỳ ở hợp thứ nhất là \(4 × 10 = 40\)
\(P(B) = \frac{400}{100} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}\)
Biến cố A.B là lấy ra quả cầu ở hộp thứ nhất trắng và quả cầu ở hộp thứ hai là trắng:
\(P(AB) = \frac{24}{100} = \frac{6}{25}\)
Ta có: \(P(A).P(B) = \frac{3}{5}.\frac{2}{5} = \frac{6}{25} = P(AB)\)
Vậy A và B là độc lập.
Câu b: Ta có thể gọi \(A_1\) là biến cố hai quả cầu lấy ra cùng trắng.
\(A_2\) là biến cố hai quả cầu lấy ra cùng đen
Rõ ràng \(A_1\) và \(A_2\) xung khắc \(A = A_1 ∪ A_2\) là biến cố hai quả cầu lấy ra cùng màu.
\(P(A) = P(A_1 ∪ A_2) = P(A_1) + P(A_2) = \frac{6.4}{100} + \frac{4.6}{100} = 0,48\)
Câu c: Gọi B la biến cố lấy ra hai qủa cầu khác màu
\(P(B) = P(\overline{A}) = 1 – 0,48 = 0,52.\)
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 7 Trang 75 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11 Của Bài 5: Xác Suất Của Biến Cố Thuộc Chương II: Tổ Hợp – Xác Suất Môn Đại Số Và Giải Tích Lớp 11. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Đại Số Và Giải Tích Lớp 11.
Trả lời