Chương I: Hàm Số Lượng Giác Và Phương Trình Lượng Giác – Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Bài 2: Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản
Bài Tập 5 Trang 29 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Giải các phương trình sau:
a. \(\)\((tanx – 15^0) = \frac{\sqrt{3}}{3}\)
b. \(cot(3x – 1) = -\sqrt{3}\)
c. \(cos2xtanx = 0\)
d. \(sin3xcotx = 0\)
Lời Giải Bài Tập 5 Trang 29 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Câu a: \((tanx – 15^0) = \frac{\sqrt{3}}{3}\)
Phương pháp giải: Coi biểu thức sau hàm tan như một ẩn phụ khác, giải tương tự như phương trình lượng giác cơ bản.
\(tanx = tana ⇔ x = a + k180^0 (k ∈ Z)\)
Giải:
Điều kiện \(x – 15^0 ≠ 90^0 + k180^0 ⇔ x ≠ 105^0 + k.180^0.\)
\(tan(x – 15^0) = \frac{\sqrt{3}}{3}\)
\(⇔ tan(x – 15^0) = tan30^0\)
\(⇔ x – 15^0 = 30^0 + k180^0, (k ∈ Z)\)
\(⇔ x = 45^0 + k180^0, (k ∈ Z)\) (thỏa mãn)
Vậy nghiệm của phương trình là: \(x = 45^0 + k180^0, (k ∈ Z)\)
Câu b: \(cot(3x – 1) = -\sqrt{3}\)
Phương pháp giải: Coi biểu thức sau hàm cot như một ẩn phụ lớn, giải tương tự như phương trình lượng giác cơ bản \(cotx = cotα ⇔ x = α + kπ (k ∈ Z)\)
Giải:
Điều kiện \(3x – 1 ≠ kπ (k ∈ Z)\) hay \(x ≠ \frac{1 + kπ}{3} (k ∈ Z)\)
\(cot(3x – 1) = -\sqrt{3}\)
\(⇔ cot(3x – 1) = cot(-\frac{π}{6})\)
\(⇔ 3x – 1 = -\frac{π}{6} + kπ\)
\(⇔ 3x = 1 – \frac{π}{6} + kπ\)
\(⇔ x = \frac{1}{3} – \frac{π}{18} + \frac{kπ}{3} (k ∈ Z)\) (thỏa mãn)
Vậy nghiệm phương trình là \(x = \frac{1}{3} – \frac{π}{18} + \frac{kπ}{3}, (k ∈ Z)\)
Câu c: \(cos2xtanx = 0\)
Phương pháp giải: \(AB = 0 ⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} A = 0\\ B = 0 \end{matrix}\)
Lưu ý điều kiện xác định của các hàm tan và cot, hàm phân thức.
Giải:
Điều kiện \(cosx ≠ 0 ⇔ x ≠ \frac{π}{2} + kπ (k ∈ Z)\)
\(cos2xtanx = 0\)
\(⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} cos2x = 2\\tanx = 0 \end{matrix}\)
\(⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} 2x = \frac{π}{2} + kπ\\ x = kπ \end{matrix}\)
\(⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} x = \frac{π}{4} + \frac{kπ}{2}\\ x = kπ \end{matrix} (k ∈ Z)\) (thỏa mãn)
Vậy nghiệm của phương trình là: \(x = \frac{π}{4} + \frac{kπ}{2} (k ∈ Z)\) hoặc \(x = kπ (k ∈ Z)\)
Câu d: \(sin3xcotx = 0\)
Phương pháp giải:
\(AB = 0 ⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} A = 0\\ B = 0 \end{matrix}\)
Lưu ý điều kiện xác định của các hàm tan và cot, hàm phân thức.
Giải:
Điều kiện: \(sinx ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ (k ∈ Z)\)
\(sin3xcotx = 0\)
\(⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix}sin3x = 0\\ cotx = 0 \end{matrix}\)
\(⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} 3x = kπ\\ x = \frac{π}{2} + nπ \end{matrix}\)
\(⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} x = \frac{kπ}{3}\\ x = \frac{π}{2} + nπ \end{matrix} (k, n ∈ Z)\)
Kết hợp với điều kiện ta thấy khi \(k = 3m, m ∈ Z\) thì \(x = \frac{kπ}{3} = \frac{3mπ}{3} = mπ (m ∈ Z) ⇒ sinx = 0\) không thỏa điều kiện.
Vậy phương trình có nghiệm là: \(x = \frac{kπ}{3} (k ≠ 3m (m ∈ Z))\) và \(x = \frac{π}{2} + nπ (n ∈ Z)\).
Chú ý: Biểu diễn các họ nghiệm trên đường tròn lượng giác để loại nghiệm:
Các nghiệm \(\bigg \lbrack \begin{matrix}x = \frac{kπ}{3}\\ x = \frac{π}{2} + kπ \end{matrix}, k ∈ Z\) được biểu diễn bởi các điểm từ \(A_1\) đến \(A_8\) trên đường tròn lượng giác như hình dưới.
Với điều kiện x ≠ k.π nên các điểm \(A_1\) và \(A_4\) bị loại.
Vậy họ nghiệm chỉ còn lại các điểm \(A_2; A_3; A_5; A_6; A_7; A_8\) và ta viết được dưới kết quả \(\bigg \lbrack \begin{matrix} x = ±\frac{π}{3} + kπ\\ x = \frac{π}{2} + kπ \end{matrix}, k ∈ Z\)
Câu a: \((tanx – 15^0) = \frac{\sqrt{3}}{3}\)
Ta có điều kiện \(x – 15^0 ≠ 90^0 + k180^0\) hay \(x ≠ 105^0 + k.180^0.\)
\(tan(x – 15^0) = \frac{\sqrt{3}}{3} ⇔ tan(x – 15^0) = tan30^0\), với điều kiện:
Ta có phương trình như sau: \(tan(x – 15^0) = tan30^0\)
\(⇔ x – 15^0 = 30^0 + k180^0, (k ∈ ℤ).\)
\(⇔ x = 45^0 + k180^0, (k ∈ ℤ).\) (thoả điều kiện)
Vậy ta có nghiệm của phương trình là: \(x = 45^0 + k180^0, (k ∈ ℤ).\)
Câu b: \(cot(3x – 1) = -\sqrt{3}\)
\(cot(3x – 1) = -\sqrt{3}\), với điều kiện \(3x – 1 ≠ kπ(k ∈ ℤ)\) hay \(x ≠ \frac{1 + kπ}{3} (k ∈ ℤ)\)
Ta có phương trình như sau \(cot(3x – 1) = cot(-\frac{π}{6})\)
\(⇔ 3x – 1 = -\frac{5π}{6} + kπ, k ∈ ℤ\)
\(⇔ x = \frac{1}{3} – \frac{π}{18} + k.\frac{π}{3}, (k ∈ ℤ)\) (thoả điều kiện)
Vậy ta có nghiệm phương trình là \(x = \frac{1}{3} – \frac{π}{18} + k.\frac{π}{3}, (k ∈ ℤ)\)
Câu c: \(cos2xtanx = 0\)
\(cos2x.tanx = 0 ⇔ cos2x.\frac{{sinx}}{{cosx}} = 0\), với điều kiện \(cosx ≠ 0\)
\(⇔ x ≠ \frac{π}{2} + kπ (k ∈ ℤ)\), ta có phương trình: \(cos2x.sinx = 0\)
\(⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} cos2x = 0\\ sin2x = 0 \end{matrix} ⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} 2x = \frac{π}{2} + kπ\\x = kπ \end{matrix} (k ∈ Z)\)
\(⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} x = \frac{π}{4} + k.\frac{π}{2}\\x = kπ \end{matrix}\) (thoả điều kiện)
Vậy ta có nghiệm phương trình là: \(x = \frac{π}{4} + k.\frac{π}{2}(k ∈ ℤ)\) hoặc \(x = kπ (k ∈ ℤ)\)
Câu d: \(sin3xcotx = 0\)
\(sin 3x.cotx = 0 ⇔ sin3x.\frac{cos x}{sinx} = 0\), với điều kiện \(sinx ≠ 0 ⇔ x ≠ k.2π (k ∈ ℤ)\)
Ta có phương trình như sau: \(sin3x.cos = 0\)
\(⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} sin3x = 0\\ cosx = 0 \end{matrix} ⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} 3x = k2π\\ x = \frac{π}{2} + kπ \end{matrix} (k ∈ Z)\)
\(⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} x = \frac{k2π}{3}\\ x = \frac{π}{2} + kπ \end{matrix}(k ∈ Z)\)
So sánh với điều kiện ta thấy khi \(k = 3m, m ∈ ℤ\) thì \(x = 2mπ ⇒ sinx = 0\) không thỏa điều kiện.
Vậy phương trình có nghiệm là: \(x = \frac{k2π}{3}\) và \(x = \frac{π}{2} + kπ (k ≠ 3m, m ∈ ℤ)\)
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 5 Trang 29 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11 Của Bài 2: Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản Thuộc Chương I: Hàm Số Lượng Giác Và Phương Trình Lượng Giác Môn Đại Số Và Giải Tích Lớp 11. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Đại Số Và Giải Tích Lớp 11.
Trả lời