Chương I: Hàm Số Lượng Giác Và Phương Trình Lượng Giác – Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Bài 2: Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản
Bài Tập 7 Trang 29 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Giải các phương trình sau:
a. \(\)\(sin3x – cos5x = 0\)
b. \(tan3xtanx = 1\)
Lời Giải Bài Tập 7 Trang 29 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Câu a: \(sin3x – cos5x = 0\)
Phương pháp giải:
Bước 1: Chuyển vế, đưa phương trình về dạng \(sinα = cosβ\).
Bước 2: Do \(sinx = cos(\frac{π}{2} – x)\) phương trình trở về dạng \(cos X = cos Y\) với \(X = (\frac{π}{2} – x); Y = β\).
\(⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} X = Y + k2π\\ X = -Y + k2π \end{matrix} (k ∈ Z)\)
Từ đó suy ra nghiệm x và kết luận,
Giải:
\(sin3x – cos5x = 0\)
\(⇔ cos5x = sin3x = cos(\frac{π}{2} – 3x)\)
\(⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} 5x = \frac{π}{2} – 3x + k2π\\ 5x = -\frac{π}{2} + 3x + k2π \end{matrix}\)
\(⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} 8x = \frac{π}{2} + k2π\\ 2x = -\frac{π}{2} + k2π \end{matrix}\)
\(⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} x = \frac{π}{16} + \frac{kπ}{4}\\x = -\frac{π}{4} + kπ \end{matrix}\)
Vậy nghiệm phương trình là: \(x = \frac{π}{16} + \frac{kπ}{4} (k ∈ Z)\) và \(x = -\frac{π}{4} + kπ, (k ∈ Z)\)
Cách khác:
\(sin3x – cos5x = 0\)
\(⇔ cos5x = sin3x\)
\(⇔ sin(\frac{π}{2} – 5x) = sin3x\)
\(⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} 5x = \frac{π}{2} = 3x + k.2π\\\frac{π}{2} – 5x = π – 3x + k.2π \end{matrix} (k ∈ Z)\)
\(⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} 8x = \frac{π}{2} + k.2π\\ 2x = -\frac{π}{2} + k.2π \end{matrix} (k ∈ Z)\)
\(⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} x = \frac{π}{16} + k.\frac{π}{4}\\ x = \frac{-π}{4} + k.π \end{matrix} (k ∈ Z)\)
Vậy nghiệm phương trình là: \(x = \frac{π}{16} + \frac{kπ}{4} (k ∈ Z)\) và \(x = -\frac{π}{4} + kπ, (k ∈ Z)\)
Câu b: \(tan3xtanx = 1\)
Phương pháp giải:
Bước 1: Tìm điều kiện xác định
Bước 2: vì \(\frac{1}{tanx} = cotx = tan(\frac{π}{2} – x)\) phương trình trở về dạng \(tanα = tanβ\) với \(α = 3x; β = \frac{π}{2} – x\)
\(⇔ α = β + kπ (k ∈ Z)\)
Bước 3: Suy ra nghiệm x rồi kết luận
Giải:
Điều kiện: \(\begin{cases}cos3x ≠ 0\\cosx ≠ 0\end{cases} ⇔ \begin{cases}3x ≠ \frac{π}{2} + kπ\\x ≠ \frac{π}{2} + kπ\end{cases}\)
\(⇔ \begin{cases}x ≠ \frac{π}{6} + \frac{kπ}{3}\\x ≠ \frac{π}{2} + kπ\end{cases} ⇒ x ≠ \frac{π}{6} + \frac{kπ}{3} (k ∈ Z)\)
\(tan3xtanx = 1\)
\(⇔ tan3x = \frac{1}{tanx}\)
\(⇔ tan3x = cotx\)
\(⇔ tan3x = tan(\frac{π}{2} – x)\)
\(⇔ 3x = \frac{π}{2} – x + kπ\)
\(⇔ 4x = \frac{π}{2} + kπ\)
\(⇔ x = \frac{π}{8} + \frac{kπ}{4} (k ∈ Z)\) (thỏa mãn)
Vậy nghiệm phương trình là \(x = \frac{π}{8} + \frac{kπ}{4}, k ∈ Z\)
Chú ý:
Ở bài này ta thấy ngay họ nghiệm \(x = \frac{π}{8} + \frac{kπ}{4}, k ∈ Z\) không có nghiệm nào vi phạm điều kiện xác định nên ta lấy cả họ nghiệm và không phải loại bỏ điểm nào.
Câu a: sin3x – cos5x = 0
\(sin 3x – cos 5x = 0 ⇔ cos5x = sin 3x\)
\(⇔ cos5x = cos (\frac{π}{2} – 3x)\)
\(⇒ \bigg \lbrack \begin{matrix} 5x = \frac{π}{2} – 3x + k2π\\ 5x = -\frac{π}{2} + 3x + k2π \end{matrix}, (k ∈ Z)\)
\(⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} x = \frac{π}{16} + \frac{kπ}{4}\\ x = -\frac{π}{4} + kπ \end{matrix}, (k ∈ Z)\)
Vậy ta có nghiệm của phương trình là: \(x = \frac{π}{16} + \frac{kπ}{4} (k ∈ Z)\) và \(x = -\frac{π}{4} + kπ, (k ∈ ℤ)\)
Câu b: tan3xtanx = 1
\(tan3x.tanx = 1\)
Điều kiện ta có: \(\begin{cases}cos3x ≠ 0\\cosx ≠ 0\end{cases} ⇔ \begin{cases}x ≠ \frac{π}{6} + k.\frac{π}{3}\\x ≠ \frac{π}{2} + k.π\end{cases}, (k ∈ Z)\)
\(tan3x.tanx = 1 ⇒ tan3x = \frac{1}{tanx} ⇒ tan3x = cotx\)
\(⇒ tan3x = tan(\frac{π}{2} – x)\)
\(⇒ 3x = \frac{π }{2} – x + kπ (k ∈ ℤ)\)
\(⇒ x = \frac{π}{8} + \frac{kπ}{4}, k ∈ ℤ\) (thoả điều kiện)
Vậy ta có nghiệm của phương trình là: \(x = \frac{π}{8} + \frac{kπ}{4}, k ∈ ℤ\).
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 7 Trang 29 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11 Của Bài 2: Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản Thuộc Chương I: Hàm Số Lượng Giác Và Phương Trình Lượng Giác Môn Đại Số Và Giải Tích Lớp 11. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Đại Số Và Giải Tích Lớp 11.
Trả lời