Chương III: Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian – Hình Học 12
Bài 1: Hệ Tọa Độ Trong Không Gian
Bài Tập 5 Trang 68 SGK Hình Học Lớp 12
Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau đây:
a. \(\)\(x^2 + y^2 + z^2 – 8x – 2y + 1 = 0\)
b. \(3x^2 + 3y^2 + 3z^2– 6x + 8y + 15z – 3 = 0\)
Lời Giải Bài Tập 5 Trang 68 SGK Hình Học 12
Cách 1:
Phương trình mặt cầu dạng \(x^2 + y^2 + z^2 – 2Ax – 2By – 2Cz + D = 0\), điều kiện \(A^2 + B^2 + C^2 – D > 0\)
Khi đó, mặt cầu có tâm I(A; B; C), bán kính \(R = \sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2} – D} .\)
Cách 2:
Đưa phương trình về dạng \((x – a)^2 + (y – b)^2 + (z – c) ^2 = R^2\). Khi đó mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính R.
Giải:
Câu a: Ta có phương trình: \(x^2 + y^2 + z^2 – 8x – 2y + 1 = 0\)
\(⇔ (x – 4)^2 + (y – 1)^2 + z^2 = 4^2\)
Đây là mặt cầu tâm I(4; 1; 0) và có bán kính r = 4.
Câu b: Ta có phương trình:
\(3x^2 + 3y^2 + 3z^2 – 6x + 8y + 15z – 3 = 0\)
\(⇔ x^2 + y^2 + z^2 – 2x + \frac{8}{3}y + 5z -1 = 0\)
\(⇔ (x – 1)^2 + (y + \frac{4}{3})^2 + (z + \frac{5}{2})^2 = (\frac{19}{6})^2\)
Đây là mặt cầu tâm \(J(1; -\frac{4}{3}; -\frac{5}{2})\) và có bán kính là \(R = \frac{19}{6}\).
Cách giải khác
Câu a: \(x^2 + y^2 + z^2 – 8x – 2y + 1 = 0\)
\(⇔ (x – 4)^2 + (y – 1)^2 + (z – 0)^2 – 16 – 1 + 1 = 0\)
\(⇔ (x – 4)^2 + (y – 1)^2 + (z – 0)^2 = 16\)
Vậy mặt cầu có tâm I(4; 1; 0) và bán kính r = 4
Câu b: Ta có: \(3x^2 + 3y^2 + 3z^2 – 6x + 8y + 15z – 3 = 0\)
\(⇔ x^2 + y^2 + z^2 – 2x + \frac{8}{3}y + 5z – 1 = 0\)
\(⇔ (x – 1)^2 + (y + \frac{4}{3})^2 + (z + \frac{5}{2})^2 – 1 – \frac{16}{9} – \frac{25}{4} – 1 = 0\)
\(⇔ (x – 1)^2 + (y + \frac{4}{3})^2 + (z + \frac{5}{2})^2\)
\(= \frac{361}{36} = \frac{19^2}{6^2}\)
Vậy mặt cầu có tâm \(I(1; -\frac{4}{3}; -\frac{5}{2})\) và bán kính \(R = \frac{19}{6}\)
Cách giải khác
Câu a: \(x^2 + y^2 + z^2 – 8x – 2y + 1 = 0\)
Phương pháp giải:
Cách 1: Đưa phương trình về dạng phương trình chính tắc: \((x – a)^2 +(y – b)^2 + (z – c)^2 = R^2\), suy ra tâm I(a; b; c) và bán kính bằng R.
Cách 2: Phương trình có dạng \(x^2 + y^2 +z^2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 (a^2 + b^2 + c^2 – d > 0)\) là phương trình mặt cầu có tâm I(-a; -b; -c) vá bán kính \(R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 – d}\)
Giải:
Cách 1: Ta có phương trình: \(x^2 + y^2 + z^2 – 8x – 2y + 1 = 0\)
\(⇔ (x – 4)^2 + (y – 1)^2 + z^2 = 4^2\)
Đây là mặt cầu tâm I(4; 1; 0) và có bán kính r = 4
Cách 2: Ta có:
\(a = -4; b = -1; c = 0; d = 1 ⇒ a^2 + b^2 + c^2 – d = 16 > 0\) do đó đây là phương trình mặt cầu tâm I(4; 1; 0), bán kính R = 4
Câu b: \(3x^2 + 3y^2 + 3z^2– 6x + 8y + 15z – 3 = 0\)
Cách 1: Ta có phương trình:
\(3x^2 + 3y^2 + 3z^2 – 6x + 8y + 15x – 3 = 0\)
\(⇔ x^2 + y^2 + z^2 – 2x + \frac{8}{3} + 5z – 1 = 0\)
\(⇔ (x – 1)^2 + (y + \frac{4}{3})^2 + (z + \frac{5}{2})^2 = (\frac{19}{6})^2\)
Đây là mặt cầu tâm \(J(1; -\frac{4}{3}; -\frac{5}{2})\) và có bán kính là \(R = \frac{19}{6}\)
Cách 2: \(3x^2 + 3y^2 + 3z^2 – 6x + 8y + 15z – 3 = 0\)
\(⇔ x^2 + y^2 + z^2 – 3x + \frac{8}{3}y + 5z – 1 = 0\)
Ta có: \(a = -1; b = \frac{4}{3}; c = \frac{5}{2}; d = -1\)
\(⇒ a^2 + b^2 + c^2 – d = \frac{361}{36} > 0\) do đó đây là phương trình mặt cầu tâm \(J(1; -\frac{4}{3}; -\frac{5}{2})\), bán kính \(R = \frac{19}{6}\)
Trên là lời giải kèm theo phương pháp giải bài tập 5 sgk trang 68 hình học lớp 12. Xem thêm các bài giải khác ngay bên dưới.
Trả lời