Chương III: Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian – Hình Học 12
Bài 1: Hệ Tọa Độ Trong Không Gian
Bài Tập 6 Trang 68 SGK Hình Học Lớp 12
Lập phương trình mặt cầu trong hai trường hợp sau đây:
a. Có đường kính AB với A(4; -3; 7), B(2; 1; 3)
b. Đi qua điểm A = (5; -2; 1) và có tâm C(3; -3; 1)
Lời Giải Bài Tập 6 Trang 68 SGK Hình Học 12
Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính R có phương trình: \(\)\((x – a)^2 + (y – b)^2 + (z -c)^2 = R^2.\)
Giải:
Câu a: Gọi I là trung điểm của AB, thì mặt cầu có đường kính AB, có tâm I và bán kính \(r = \frac{1}{2}AB = IA\).
Ta có: I(3; -1; 5) và \(r^2 = IA^2 = 9\).
Do vậy phương trình mặt cầu đường kính AB có dạng: \((x – 3)^2 + (y + 1)^2 + (z – 5)^2 = 9\)
Câu b: Mặt cầu cần tìm có tâm C(3; -3; 1) và có bán kính \(r = CA = \sqrt{4 + 1 + 0} = \sqrt{5}\)
Do đó phương trình mặt cầu có dạng: \((x – 3)^2 + (y + 3)^2 + (z – 1)^2 = 5\)
Cách giải khác
Câu a: Gọi I là tâm của mặt cầu.
Ta có I là trung điểm của đoạn AB. Vậy I(3; -1; 5)
Mặt khác \(R = \frac{AB}{2} = \frac{1}{2}\sqrt{4 + 16 + 16} = 3\)
Vậy phương trình mặt cầu là:
\((x – 3)^2 + (y + 1)^2 + (z – 5)^2 = 9\)
Câu b: Bán kính mặt cầu là:
\(R = |\sqrt{CA}| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}\)
Vậy phương trình mặt cầu là:
\((x – 3)^2 + (y + 3)^2 + (z – 1)^2 = 5\)
Cách giải khác
Câu a: Có đường kính AB với A(4; -3; 7), B(2; 1; 3)
Phương pháp giải: Mặt cầu có tâm là trung điểm của AB và bán kính bằng \(\frac{AB}{2}\)
Giải: Gọi I là trung điểm của AB, thì mặt cầu có đường kính AB, có tâm I và bán kính \(r = \frac{1}{2}AB = IA\)
Ta có: \(\begin{cases}x_I = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{4 + 2}{2} = 3\\y_I = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{-3 + 1}{2} = -1 ⇒ I(3; -1; 5)\\z_I = \frac{z_A + z_B}{2} = \frac{7 + 3}{2} = 5\end{cases}\)
Do vậy phương trình mặt cầu đường kính AB có dạng: \((x – 3)^2 + (y + 1)^2 + (z – 5)^2 = 9\)
Câu b: Đi qua điểm A = (5; -2; 1) và có tâm C(3; -3; 1)
Phương pháp giải: Mặt cầu có tâm C và bán kính CA.
Giải: Mặt cầu cần tìm có tâm C(3; -3; 1) và có bán kính \(R = CA = \sqrt{(3 – 5)^2 + (-3 + 2)^2 + (1 – 1)^2} = \sqrt{5}\)
Do đó phương trình mặt cầu có dạng: \((x – 3)^2 + (y + 3)^2 + (z – 1)^2 = 5\)
Kết thúc bài giải cuối cùng trong bài 1 hệ tọa độ trong không gian. Xem các bài giải khác trong bài 1 ngay bên dưới đây nhé.
Trả lời