Chương III: Quan Hệ Giữa Các Yếu Tố Trong Tam Giác. Các Đường Đồng Quy Của Tam Giác – Hình Học Lớp 7 – Tập 2
Giải Bài Tập SGK: Ôn Tập Chương III Bài Tập
Bài Tập 67 Trang 87 SGK Hình Học Lớp 7 – Tập 2
Cho tam giác MNP với trung tuyến MR và trọng tâm Q.
a. Tính tỉ số các diện tích của hai tam giác MNP và RPQ.
b. Tính tỉ số các diện tích của hai tam giác MNQ và RNQ.
c. So sánh các diện tích của hai tam giác RPQ và RNQ.
Từ kết quả trên, hãy chứng minh các tam giác QMN, QNP, QPM có cùng diện tích.
Gợi ý: Hai tam giác ở mỗi câu a, b, c có chung đường cao.
Lời Giải Bài Tập 67 Trang 87 SGK Hình Học Lớp 7 – Tập 2
Áp dụng tính chất trọng tâm của tam giác.
Câu a: Vẽ PB ⊥ Mr tại B.
Vậy tam giác MPQ và RPQ có chung đường cao PB.
Vì Q là trọng tâm của ΔMNP nên điểm Q thuộc đường trung tuyến MR và MQ = 2QR
Ta có: \(\)\(S_{ΔMPQ} = \frac{1}{2}MQ.PB = \frac{1}{2}.2QR.PB = QR.PB\)
và \(S_{ΔRPQ} = \frac{1}{2}QR.PB\)
Vậy: \(\frac{S_{ΔMPQ}}{S_{ΔRPQ}} = \frac{QR.PB}{\frac{1}{2}QR.PB} = 2\) (1)
Câu b: Vẽ NA ⊥ MR tại A
Vậy tam giác MMNQ và RNQ có chung đường cao NA.
Vì Q là trọng tâm của ΔMNP nên điểm Q thuộc đường trung tuyến MR và MQ = 2QR
Ta có: \(S_{ΔMNQ} = \frac{1}{2}MQ.NA = \frac{1}{2}.2QR.NA = QR.NA\)
và \(S_{ΔRNQ} = \frac{1}{2}QR.NA\)
Vậy: \(\frac{S_{ΔRNQ}}{S_{ΔRNQ}} = \frac{QR.NA}{\frac{1}{2}QR.NA} = 2\) (2)
Câu c: Hai tam giác ΔRPQ và ΔRQN có chung đường cao kẻ từ Q và PR = RN nên \(S_{RPQ} = S_{RQN}\)
Vì \(S_{RPQ} + S_{RQN} = S_{QNP}\)
Nên \(S_{QNP} = 2S_{RPQ} = 2S_{RQN}\) (3)
Từ (1), (2), (3) ta có: \(S_{MNQ} = S_{QNP} = S_{MPQ}\)
Cách giải khác
Câu a: Vẽ PB ⊥ MR
Vậy tam giác MPQ và RPQ có chung đường cao PB.
Vì Q là trọng tâm của ΔMNR nên MQ = 2QR
Ta có: \(S_{ΔMPQ} = \frac{1}{2}MQ.PB = \frac{1}{2}2QR.PB = QR.PB\)
và \(S_{ΔRPQ} = \frac{1}{2}QR.PB\)
Vậy \(\frac{S_{ΔMPQ}}{S_{ΔRPQ}} = \frac{QR.PB}{\frac{1}{2}QR.PB} = 2\)
Câu b: Vẽ NA ⊥ MR
Vậy NA là đường cao của ΔMNQ đồng thời là đường cao ΔRNQ.
Vì Q là trọng tâm của ΔMNP nên MQ = 2QR
Ta có: \(S_{ΔMNQ} = \frac{1}{2}MQ.NA = \frac{1}{2}2QR.NA = QR.NA\) và \(S_{ΔRNQ} = \frac{1}{2}QR.NA\)
Vậy \(\frac{S_{ΔMNQ}}{S_{ΔRNQ}} = \frac{QR.NA}{\frac{1}{2}QR.NA} = 2\)
Câu c: Xét hai tam giác vuông ANR và BPR, ta có:
\(\begin{cases}RN = RP(gt)\\\widehat{NRA} = \widehat{PRB}(đđ)\end{cases}\)
⇒ ΔANR = ΔBPR ⇒ NA = PB
Ta có: \(S_{ΔRPQ} = \frac{1}{2}QR.PB = \frac{1}{2}QR.NA = S_{ΔRNQ}\)
Vậy \(S_{ΔRPQ} = S_{ΔRNQ}\)
* Từ kết quả câu a, ta có:
\(S_{ΔMPQ} = 2S_{ΔPRQ} = S_{ΔQNP}\) (do câu c) (*)
* Từ kết quả câu b, ta có:
\(S_{ΔMNQ} = 2S_{ΔRNQ} = S_{ΔQNP}\) (**)
Từ (*) và (**) suy ra:
\(S_{ΔQMN} = S_{ΔQNP} = S_{ΔQPM}\) (đpcm)
Hướng dẫn giải bài tập 67 trang 87 sgk hình học lớp 7 tập 2 ôn tập chương III phần bài tập. Cho tam giác MNP với trung tuyến MR và trọng tâm Q.
Bài Tập Liên Quan:
- Bài Tập 1 Trang 86 SGK Hình Học Lớp 7 – Tập 2
- Bài Tập 2 Trang 86 SGK Hình Học Lớp 7 – Tập 2
- Bài Tập 3 Trang 86 SGK Hình Học Lớp 7 – Tập 2
- Bài Tập 4 Trang 86 SGK Hình Học Lớp 7 – Tập 2
- Bài Tập 5 Trang 86 SGK Hình Học Lớp 7 – Tập 2
- Bài Tập 6 Trang 87 SGK Hình Học Lớp 7 – Tập 2
- Bài Tập 7 Trang 87 SGK Hình Học Lớp 7 – Tập 2
- Bài Tập 8 Trang 87 SGK Hình Học Lớp 7 – Tập 2
- Bài Tập 63 Trang 87 SGK Hình Học Lớp 7 – Tập 2
- Bài Tập 64 Trang 87 SGK Hình Học Lớp 7 – Tập 2
- Bài Tập 65 Trang 87 SGK Hình Học Lớp 7 – Tập 2
- Bài Tập 66 Trang 87 SGK Hình Học Lớp 7 – Tập 2
- Bài Tập 68 Trang 88 SGK Hình Học Lớp 7 – Tập 2
- Bài Tập 69 Trang 88 SGK Hình Học Lớp 7 – Tập 2
- Bài Tập 70 Trang 88 SGK Hình Học Lớp 7 – Tập 2
Trả lời