Chương III: Vectơ Trong Không Gian. Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian – Hình Học Lớp 11
Bài 2: Hai Đường Thẳng Vuông Góc
Bài Tập 7 Trang 98 SGK Hình Học Lớp 11
Cho S là diện tích của tam giác ABC. Chứng minh rằng:
\(\)\(S=\frac{1}{2}\sqrt{\overrightarrow{AB}^2.\overrightarrow{AC}^2- (\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC})^2}.\)Lời Giải Bài Tập 7 Trang 98 SGK Hình Học 11
\(S_{ABC} = \frac{1}{2}AB.AC.sinA\)
\(sin A = \sqrt{1 – cos^2A}\)
\(cos A = \frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|.|\overrightarrow{AC}|}\)
\(S_{ABC} = \frac{1}{2}AB.AC.sin A = \frac{1}{2}AB.AC.\sqrt{1 – cos^2A}\)
\(= \frac{1}{2}AB.AC.\sqrt{1 – (\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|.|\overrightarrow{AC}|})}\)
\(= \frac{1}{2}\sqrt{AB^2.AC^2 – AB^2AC^2.\frac{(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC})^2}{|\overrightarrow{AB}|^2.|\overrightarrow{AC}|^2}}\)
\(= \frac{1}{2}\sqrt{\overrightarrow{AB}^2.\overrightarrow{AC}^2 – AB^2.AC^2.\frac{(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC})^2}{AB^2.AC^2}}\)
\(= \frac{1}{2}\sqrt{\overrightarrow{AB}^2.\overrightarrow{AC}^2 – (\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC})^2}\)
Vì ta có S là diện tích của tam giác suy ra được \(ABC ⇒ S = \frac{1}{2}AB.AC.sin\widehat{A}\) (1)
Ta có: \(\overrightarrow{AB}^2.\overrightarrow{AC}^2 – (\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC})^2\)
\(= AB^2.AC^2 – AB^2.AC^2.cos^2(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})\)
\(= AB^2.AC^2.(1 – cos^2\widehat{A}) = AB^2.AC^2.sin^2\widehat{A} = (AB.AC.sin\widehat{A})^2\)
\(⇒ \frac{1}{2}\sqrt{\overrightarrow{AB}^2.\overrightarrow{AC}^2 – (\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC})^2} = \frac{1}{2}\sqrt{(AB.AC.sinA)^2}\)
\(= \frac{1}{2} AB.AC.sinA\) (2)
Từ (1) và (2) \(⇒ S=\frac{1}{2}\sqrt{\overrightarrow{AB}^2.\overrightarrow{AC}^2- (\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC})^2}\) (đpcm)
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 7 Trang 98 SGK Hình Học Lớp 11 Của Bài 2: Hai Đường Thẳng Vuông Góc Thuộc Chương III: Vectơ Trong Không Gian. Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian Môn Hình Học Lớp 11. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Hình Học Lớp 11.
Trả lời