Chương III: Nguyên Hàm – Tích Phân & Ứng Dụng – Giải Tích Lớp 12
Bài 3: Ứng Dụng Của Tích Phân Trong Hình Học
Bài Tập 1 Trang 121 SGK Giải Tích Lớp 12
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a. \(\)\(y = x^2, y = x + 2\)
b. \(y = |lnx|, y = 1\);
c. \(y = (x – 6)^2, y = 6x – x^2\)
Lời Giải Bài Tập 1 Trang 121 SGK Giải Tích 12
Câu a: \(y = x^2; y = x + 2\)
Phương pháp giải: Cho hai hàm số y = f(x); y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Gọi D là hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số trên và các đường thẳng x = a; x = b. Khi đó diện tích của hình phẳng D được tính bởi công thức:
\(S_D = \int_a^b|f(x) – g(x)|dx\)
Giải: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là: \(f(x) = x^2 – x – 2 = 0\)
\(⇔ (x + 1)(x – 2) = 0 ⇔ \left[ \begin{gathered} x + 1 = 0 \\ x – 2 = 0\\ \end{gathered} \right. ⇔ \left[ \begin{gathered} x = -1 \\ x = 2\\ \end{gathered} \right.\)
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
\(S = \int_{-1}^2|x^2 – x – 2|dx = |\int_{-1}^2(x^2 – x – 2)dx|\)
\(= |\frac{x^3}{3} – \frac{x^2}{2} – 2x\Bigg|_{-1}^2|\)
\(= |\frac{8}{3} – 2 – 4 – (-\frac{1}{3} – \frac{1}{2} + 2)| = \frac{9}{2}(đvdt)\)
Câu b: \(y = |lnx|, y = 1\)
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:
\(f(x) = 1 – |lnx| = 0 ⇔ lnx = ±1 ⇔ \left[ \begin{gathered} x = e \\ x = \frac{1}{e}\\ \end{gathered} \right.\)
Ta có: y = |lnx| = lnx nếu lnx ≥ 0, tức là x ≥ 1.
hoặc y = |lnx| = -lnx nếu lnx < 0, tức là 0 < x < 1.
Dựa vào đồ thị hàm số vẽ ở hình trên ta có diện tích cần tìm là:
\(S = \int_{\frac{1}{e}}^e – |1 – |lnx||dx = \int_{\frac{1}{e}}^1(1 + lnx)dx + \int_1^e(1 – lnx)dx\)
\(= x\Bigg|_{\frac{1}{e}}^1 + \int_{\frac{1}{e}}^1lnxdx + x\Bigg|_1^e – \int_1^elnxdx\)
\(= (1 – \frac{1}{e}) + \int_{\frac{1}{e}}^1lnxdx + (e – 1) – \int_1^elnxdx\)
\(= -\frac{1}{e} + e + \int_{\frac{1}{e}}^1lnxdx – \int_1^2lnxdx\)
Tính \(\int lnxdx\) ta có:
Đặt \(\begin{cases}u = lnx\\dv = dx\end{cases} ⇒ \begin{cases}du = \frac{1}{x}dx\\v = x\end{cases}\)
Do đó \(\int lnxdx = xlnx – \int dx = xlnx – x + C\), thay vào trên ta được:
\(S = e – \frac{1}{e} + (xlnx – x)\Bigg|_{\frac{1}{e}}^1 – (xlnx – x)\Bigg|_1^e\)
\(= e – \frac{1}{e} + [(1ln1 – 1) – (\frac{1}{e}ln\frac{1}{e} – \frac{1}{e})] – [(elne – e) – (1ln1 – 1)]\)
\(= e – \frac{1}{e} + [(0 – 1) – (\frac{1}{e}.(-1) – \frac{1}{e})] – [(e.1 – e) – (0 – 1)]\)
\(= e – \frac{1}{e} + (-1 + \frac{2}{e}) – (0 + 1) = e – \frac{1}{e} – 1 + \frac{2}{e} – 1\)
\(= e + \frac{1}{e} – 2(đvdt)\)
Câu c: \(y = (x – 6)^2, y = 6x – x^2\)
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:
\(f(x) = 6x – x^2 – (x – 6)^2 = -2(x^2 – 9x + 18) = 0\)
\(⇔ x^2 – 9x + 18 = 0 ⇔ (x – 3)(x – 6) = 0\)
\(⇔ \left[ \begin{gathered} x – 3 = 0 \\ x – 6 = 0\\ \end{gathered} \right.\)
\(⇔ \left[ \begin{gathered} x = 3 \\ x = 6\\ \end{gathered} \right.\)
Diện tích cần tìm là:
\(S = \int_3^6 |-2(x^2 – 9x + 18)|dx = |2\int_3^6(x^2 – 9x + 18)dx|\)
\(= |2(\frac{x^3}{3} – \frac{9}{2}x^2 + 18x)\Bigg|_3^6|\)
\(= |2(\frac{6^3}{3} – \frac{9}{2}.6^2 + 18.6) – 2(\frac{3^3}{3} – \frac{9}{2}.3^2 + 18.3)|\)
\(= |36 – 45| = 9(đvdt)\)
Câu a: \(y = x^2, y = x + 2\)
Phương trình hoành độ giao điểm \(f(x) = x^2 – x – 2 = 0 ⇔ x = -1\) hoặc \(x = 2\).
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
\(S = \int_{-1}^2 |x^2 – x – 2|dx = |\int_{-1}^2(x^2 – x – 2)dx|\)
\(= |\frac{x^3}{3} – \frac{x^2}{2} – 2x\Bigg|_{-1}^2| = |\frac{8}{3} – 2 – 4 – (\frac{1}{3} – \frac{1}{2} + 2)| = 4\frac{1}{2}\)
Câu b: \(y = |lnx|, y = 1\);
Phương trình hoành độ giao điểm:
\(f(x) = 1 – ln|x| = 0 ⇔ lnx = ±1\)
\(⇔ x = e\) hoặc \(x = \frac{1}{e}\)
\(y = ln|x| = lnx\) nếu \(lnx ≥ 0\) tức là \(x ≥ 1\).
hoặc \(y = ln|x| = -lnx\) nếu \(lnx < 0\), tức là \(0 < x < 1\).
Dựa vào đồ thị hàm số vẽ ở hình trên ta có diện tích cần tìm là:
\(S = \int_{\frac{1}{e}}^e|1 – |lnx||dx = \int_{\frac{1}{e}}^1(1 + lnx)dx + \int_{1}^{e}(1 – lnx)dx\)
\(= x\Bigg|_{\frac{1}{e}}^1 + \int_{\frac{1}{e}}^1lnxdx + x\Bigg|_1^e – \int_1^elnxdx\)
\(= -\frac{1}{e} + e + \int_{\frac{1}{e}}^1lndx – \int_1^elnxdx\)
Ta có \(∫lnxdx = xlnx – ∫dx = xlnx – x + C\), thay vào trên ta được:
\(S = e – \frac{1}{e} + (xlnx – x)\Bigg|_{\frac{1}{e}}^1 – (xlnx – x)\Bigg|_{1}^{e} = e + \frac{1}{e} – 2\)
Câu c: \(y = (x – 6)^2, y = 6x – x^2\)
Phương trình hoành độ giao điểm là:
\(f(x) = 6x – x^2 – (x – 6)^2 = -2(x^2 – 9x + 18) = 0\)
\(⇔ – 2({x^2}-9x+ 18) ⇔ x = 3\) hoặc \(x = 6\).
Diện tích cần tìm là:
\(S = \int_3^6|-2(x^2 – 9x + 18)|dx\)
\(= |2\int_3^6(x^2 – 9x + 18)dx|\)
\(= |2(\frac{x^3}{3} – \frac{9}{2}x^2 + 18x)\Bigg|_3^6| = 9\).
Câu a: \(y = x^2, y = x + 2\)
Giả sử đường thẳng \(y = x + 2\) cắt parabol \(y = x^2\) tại A và B.
\(x_A, x_B\) là các nghiệm của phương trình:
\(x^2 = x + 2 ⇔ x^2 – x – 2 = 0\)
\(⇔ x = -1; x = 2\)
Xét hàm \(f(x) = x^2 – x – 2, f’(x) = 2x – 1 = 0 ⇔ x = \frac{1}{2}\)
Theo bảng biến thiên ta có: trên đoạn [-1; 2] thì \(x^2 – x – 2 < 0\)
Do đó: \(|x^2 – (x + 2)| = -x^2 + x + 2\)
Vậy diện tích cần tìm là:
\(S = \int_{x_A}^{x_B}|x^2 – (x + 2)|dx = \int_{-1}^{2}(-x^2 + x + 2)dx\)
\(= (-\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x)\Bigg|_{-1}^{2} = \frac{9}{2}\)(đvdt)
Câu b: \(y = |lnx|, y = 1\);
Hoành độ các giao điểm là:
\(ln|x| = 1 ⇔ x = \frac{1}{e}; x = e\)
Vậy diện tích cần tìm là:
\(S = \int_{\frac{1}{e}}^{1}[1 + lnx]dx + \int_{1}^{e}(1 – lnx)dx\)
\(= x(lnx – 1)\Bigg|_{\frac{1}{e}}^{1} – x(lnx – 1)\Bigg|_{\frac{1}{e}}^{1} = e + \frac{1}{e} – 2 (đvdt)\)
Câu c: \(y = (x – 6)^2, y = 6x – x^2\)
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:
\((x – 6)^2 = 6x – x^2\)
\(⇔ (x – 6)(2x – 6) = 0\)
\(⇔ x = 3; x = 6\)
Vậy diện tích cần tìm là:
\(S = \int_{3}^{6}[6x – x^2 – (x – 6)^2]dx\)
\(= \int_{3}^{6}(-2x^2 + 18x – 36)dx\)
\(= (-\frac{2}{3}x^3 + 9x^2 – 36x)\Bigg|_{3}^{6}\)
\(= -36 + 45 = 9 (đvdt)\)
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 1 Trang 121 SGK Giải Tích Lớp 12 Của Bài 3: Ứng Dụng Của Tích Phân Trong Hình Học Thuộc Chương III: Nguyên Hàm – Tích Phân & Ứng Dụng Môn Giải Tích Lớp 12. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Giải Tích Lớp 12.
Trả lời