Chương III: Nguyên Hàm – Tích Phân & Ứng Dụng – Giải Tích Lớp 12
Bài 3: Ứng Dụng Của Tích Phân Trong Hình Học
Bài Tập 5 Trang 121 SGK Giải Tích Lớp 12
Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox. Đặt:
\(\)\(\widehat{POM} = α, OM = R (0 ≤ α ≤ \frac{π}{3}, R > 0)\)Gọi ϑ là khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó xung quanh Ox (Hình 63).
a. Tính thể tích của ϑ theo α và R.
b. Tìm α sao cho thể tích của ϑ lớn nhất.
Lời Giải Bài Tập 5 Trang 121 SGK Giải Tích 12
Câu a: Tính thể tích của ϑ theo α và R.
Phương pháp giải:
– Hình phẳng cần tính thể tích được giới hạn bởi đoạn thẳng OM, MP và trục hoành.
– Xác định phương trình đường thẳng OM và sử dụng công thức tính thể tích để tính thể tích khối tròn xoay ϑ cần tính.
Giải:
Ta có: \(\begin{cases}x_M = OP = Rcosα\\y_M = PM = Rsinα\end{cases}\)
\(⇒ \begin{cases}R = \frac{x_M}{cosα}\\y_M = \frac{x_M}{cosα}.sinα\end{cases}\)
\(⇒ y_M = x_Mtanα\)
⇒ Điểm M thuộc đường thẳng \(y = x.tanα\)
Mà O cũng thuộc đường thẳng trên nên phương trình đường thẳng OM là \(y = x.tanα\).
Khi đó thể tích của khối tròn xoay là:
\(V = π\int_0^{Rcosα}x^2tan^2αdx\)
\(= πtan^2α.\frac{x^3}{3}\Bigg|_0^{Rcosα}\)
\(= \frac{πR^3}{3}.tan^2α.cos^3α\)
\(= \frac{πR^3}{3}.sin^α.cosα\)
\(= \frac{πR^3}{3}.cosα(1 – cos^2α)\)
\(= \frac{πR^3}{3}(cosα – cos^3α).(dvtt)\)
Cách khác
Ta có: \(\begin{cases}OP = Rcosα\\MP = Rsinα\end{cases}\)
Khi quay tam giác OPM quanh trục Ox ta được khối nón tròn xoay có bán kính đáy \(r = MP = Rsinα\) và chiều cao \(h = OP = Rcosα\).
Thể tích khối nón là: \(V = \frac{1}{3}πr^2h\)
\(= \frac{1}{3}π(Rsinα)^2.Rcosα\)
\(= \frac{1}{3}πR^3sin^2αcosα\)
\(= \frac{πR^3}{3}(1 – cos^2α)cosα\)
\(= \frac{πR^3}{3}(cosα – cos^3α)\)
Câu b: Tìm α sao cho thể tích của ϑ lớn nhất.
Phương pháp giải: Tính được thể tích của khối tròn xoay ϑ theo α. Khảo sát hàm số V = V(α) để tìm thể tích lớn nhất.
Giải: Xét hàm số: \(V(α) = \frac{πR^3}{3}(cosα – cos^3α)\)
Đặt t = cosα
Với \(α ∈ [0; \frac{π}{3}] ⇒ t ∈ [\frac{1}{2}; 1]\)
Khi đó ta xét hàm: \(V(t) = \frac{πR^3}{3}(t – t^3)\) trên \([\frac{1}{2}; 1]\)
Có: \(V'(t) = \frac{πR^3}{3}(1 – 3t^2)\)
\(⇒ V'(t) = 0 ⇔ 1 – 3t^2 = 0\)
\(⇔ \left[ \begin{gathered} t = \frac{\sqrt{3}}{3} \\ t = -\frac{\sqrt{3}}{3}\\ \end{gathered} \right.\)
Ta có bảng biến thiên:
⇒ Hàm số đạt giá trị lớn nhất khi \(t = \frac{\sqrt{3}}{3} ⇒ cosα = \frac{\sqrt{3}}{3} ⇔ α = arccos \frac{\sqrt{3}}{3}\)
Vậy thể tích khối ϑ lớn nhất khi \(α = arccos \frac{\sqrt{3}}{3}\)
Câu a: Tính thể tích của ϑ theo α và R.
Hoành độ điểm \(P\) là:
\(x_p = OP = OM. cos α = R.cosα\)
Phương trình đường thẳng \(OM\) là \(y = tanα.x\). Thể tích ϑ của khối tròn xoay là:
\(V = π\int_0^{R cos α}tan^2α\frac{x^3}{3}\Bigg|_0^{R cosα}\)
\(= \frac{π.R^3}{3}(cosπ – cos^3π)\)
Câu b: Tìm α sao cho thể tích của ϑ lớn nhất.
Đặt \(t = cosα ⇒ t ∈ [\frac{1}{2}; 1]\) (vì \(α ∈ [0; \frac{π}{3}]\)), \(α = arccost\)
Ta có: \(V = \frac{πR^3}{3}(t – t^3); V’ = \frac{πR^3}{3}(1 – 3t^2)\)
\(V’ = 0 ⇔ \left[ \begin{gathered} t = \frac{\sqrt{3}}{3} \\ t = \frac{-\sqrt{3}}{3}\\ \end{gathered} \right.\)
Từ đó suy ra V lớn nhất bằng \(\frac{2\sqrt{3}πR^3}{27} ⇔ t = \frac{\sqrt{3}}{3} ⇔ α = arccos\frac{\sqrt{3}}{3}\)
Câu a: Tính thể tích của ϑ theo α và R.
Ta có: \(OP = R.cosα; PM = R.sinα\)
⇒ Diện tích đáy B của khối tròn xoay V là: \(B = π.PM^2 = π.R^2.sin^2α.\)
Theo công thức (4) ta có thể tích của khối tròn xoay V là:
\(V = \frac{1}{3}B.OP = \frac{1}{3}.R.cosα.π.R^2.sin^2α\)
\(= \frac{1}{3}π.R^3.cosα.sin^2α = \frac{1}{3}π.R^3(cosα – cos^3α)\)
Với \(= (0 ≤ α ≤ \frac{π}{3})\)
Câu b: Tìm α sao cho thể tích của ϑ lớn nhất.
Ta có V lớn nhất \(⇔ cosα – cos^3α\) lớn nhất.
Xét hàm số \(f(t) = t − t^3(t = cosα)\). Khi \(α ∈ (0; \frac{π}{3})\) thì \(t ∈ (\frac{1}{2}; 1)\)
Ta có: \(f'(t) = 1 – 3t^2 = 0 ⇔ \left[ \begin{gathered} t = \frac{1}{\sqrt{2}} \\ t = \frac{1}{2}\\ \end{gathered} \right.\)
Ta có bảng biến thiên:
⇒ f(t) lớn nhất bằng \(\frac{2}{3\sqrt{3}}\) khi \(t = \frac{1}{\sqrt{3}}\)
Hay \(cos α – cos^3α\) lớn nhất: \(\frac{2}{3\sqrt{3}}\) đạt được khi \(cosα = \frac{1}{\sqrt{3}}\)
Vậy \(V_{max} = \frac{2π\sqrt{3}}{27}R^3\) khi \(cosα = \frac{1}{\sqrt{3}}\).
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 5 Trang 121 SGK Giải Tích Lớp 12 Của Bài 3: Ứng Dụng Của Tích Phân Trong Hình Học Thuộc Chương III: Nguyên Hàm – Tích Phân & Ứng Dụng Môn Giải Tích Lớp 12. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Giải Tích Lớp 12.
Trả lời