Chương III: Nguyên Hàm – Tích Phân & Ứng Dụng – Giải Tích Lớp 12
Bài 3: Ứng Dụng Của Tích Phân Trong Hình Học
Bài Tập 4 Trang 121 SGK Giải Tích Lớp 12
Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh Ox:
a. \(\)\(y = 1 – x^2, y = 0\)
b. \(y = cosx, y = 0, x = 0, x = π\)
c. \(y = tanx, y = 0, x = 0, x = \frac{π}{4}\)
Lời Giải Bài Tập 4 Trang 121 SGK Giải Tích 12
Câu a: \(y = 1 – x^2, y = 0\)
Cho hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y = f(x); y = g(x)\) và hai đường thẳng \(x = a; x = b (a < b)\). Khi quay hình phẳng trên quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích được tính bởi công thức:
\(V = π\int_a^b|f^2(x) – g^2(x)|dx\)
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là: \(1 – x^2 = 0 ⇔ x = ±1\).
Khi đó thể tích khối tròn xoay cần tìm là:
\(V = π\int_{-1}^1(1 – x^2)^2dx = 2π\int_0^1(x^4 – 2x^2 + 1)dx\)
\(= 2π(\frac{x^4}{5} – \frac{2}{3}x^3 + x)\Bigg|_0^1\)
\(= 2π(\frac{1}{5} – \frac{2}{3} + 1) = \frac{16}{15}π\)
Câu b: \(y = cosx, y = 0, x = 0, x = π\)
Thể tích cần tìm là:
\(V = π\int_0^πcos^2xdx = \frac{π}{2}\int_0^π(1 + cos2x)dx\)
\(= \frac{π}{2}(x + \frac{1}{2}sin2x)\Bigg|_0^π = \frac{π}{2}π = \frac{π^2}{2}\)
Câu c: \(y = tanx, y = 0, x = 0, x = \frac{π}{4}\)
Thể tích cần tìm là:
\(V = π\int_0^{\frac{π}{4}}tan^2xdx = π\int_0^{\frac{π}{4}}(\frac{1}{cos^2x} – 1)dx\)
\(= π(tanx – x)\Bigg|_0^{\frac{π}{4}} = π(1 – \frac{π}{4})\).
\(= \frac{π(4 – π)}{4}\)
Câu a: \(y = 1 – x^2, y = 0\)
Xét phương trình: \(1 – x^2 = 0 ⇔ x = 1; x = -1\)
Áp dụng công thức (5) ta có thể tích cần tìm là:
\(V = π\int_{-1}^{1}(1-x^2)^2dx = π\int_{-1}^{1} (1-2x^2+x^4)dx\)
\(= \left ( x-\frac{2}{3}x^3+\frac{x^5}{5} \right ) \Bigg|^1_{-1}= π\left [ \left ( 1-\frac{2}{3} +\frac{1}{5}\right ) – \left ( -1+\frac{2}{3}-\frac{1}{5} \right )\right ]\)
\(= π\left ( 2-\frac{4}{3}+\frac{2}{5} \right )=\frac{16 π}{15}\)
Câu b: \(y = cosx, y = 0, x = 0, x = π\)
Áp dụng công thức (5) ta có:
\(V = π\int_0^πcos^2x dx = π\int_0^π\frac{1 + cos2x}{2}dx\)
\(= \frac{π}{2} \int_0^πdx + \frac{π}{4} \int_0^πcos2x d2x\)
\(= \frac{π}{2}x \Bigg|^π_0 + \frac{π}{4}sin2x\Bigg|^π_0 = \frac{π^2}{2}\)
Câu c: \(y = tanx, y = 0, x = 0, x = \frac{π}{4}\)
Áp dụng công thức (5) ta có:
\(V = π\int_0^{\frac{π}{4}}tan^2xdx = π\int_0^{\frac{π}{4}}(\frac{1}{cos^2x} – 1)dx\)
\(= π\int_0^{\frac{π}{4}}\frac{dx}{cos^2x} – π\int_0^{\frac{π}{4}}dx\)
\(= πtan x\Bigg|_0^{\frac{π}{4}} – πx\Bigg|_0^{\frac{π}{4}} = π-\frac{π^2}{4} = π(1 – \frac{π}{4})\)
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 4 Trang 121 SGK Giải Tích Lớp 12 Của Bài 3: Ứng Dụng Của Tích Phân Trong Hình Học Thuộc Chương III: Nguyên Hàm – Tích Phân & Ứng Dụng Môn Giải Tích Lớp 12. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Giải Tích Lớp 12.
Trả lời