Chương III: Nguyên Hàm – Tích Phân & Ứng Dụng – Giải Tích Lớp 12
Bài 3: Ứng Dụng Của Tích Phân Trong Hình Học
Bài Tập 3 Trang 121 SGK Giải Tích Lớp 12
Parabol \(\)\(y = \frac{x^2}{2}\) chia hình tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính \(2\sqrt{2}\) thanh hai phần. Tìm tỉ số diện tích của chúng.
Lời Giải Bài Tập 3 Trang 121 SGK Giải Tích 12
– Sử dụng công thức tính diện tích hình phẳng để tính diện tích hai phần được chia sau đó tính tỉ số của hai phần diện tích.
Đường tròn đã cho có phương trình: \(x^2 + y^2 = 8\)
Từ đó ta có: \(y = ±\sqrt{8 – x^2}\)
Tọa độ giao điểm của (C) và (P) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\begin{cases}x^2 = 2y\\x^2 + y^2 = 8\end{cases} ⇔ \begin{cases}y^2 + 2y – 8 = 0\\x^2 = 2y\end{cases}\)
\(⇔ \begin{cases}\left[ \begin{gathered} y = 2(tm)\\ y = -4(ktm)\\ \end{gathered} \right.\\x^2 = 2y\end{cases} ⇔ \begin{cases}y = 2\\x = ±2\end{cases}\)
Gọi \(S_1\) và \(S_2\) là diện tích hai phần của đường tròn được chia bởi parabol (P) như hình vẽ.
Khi đó ta có:
\(S_1 = \int_{-2}^2(\sqrt{8 – x^2} – \frac{x^2}{2})dx\)
\(= \int_{-2}^2 \sqrt{8 – x^2}dx – \int_{-2}^2dx\)
Tính \(I_1 = \int_{-2}^2\sqrt{8 – x^2}dx\)
Đặt \(x = 2\sqrt{2}sint ⇒ dx = 2\sqrt{2}costdt\)
Đổi cận:
\(x = -2 ⇒ t = -\frac{π}{4}\)
\(x = 2 ⇒ t = \frac{π}{4}\)
\(I_1 = \int_{-\frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}} \sqrt{8 – 8sin^2t}.2\sqrt{2}costdt\)
\(= \int_{-\frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}}\sqrt{8(1 – sin^2t)}.2\sqrt{2}costdt\)
\(= \int_{-\frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}}\sqrt{8cos^2t}.2\sqrt{2}costdt\)
\(= \int_{-\frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}}2\sqrt{2}cost.2\sqrt{2}costdt\)
\(= \int_{-\frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}}8cos^2tdt\)
\(= \int_{-\frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}}8.\frac{1 + cos2t}{2}dt\)
\(= 4\int_{-\frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}}(1 + cos2t)dt\)
\(= 4(t + \frac{sin2t}{2})\Bigg|_{-\frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}}\)
\(= 4(\frac{π}{4} + \frac{sin\frac{π}{2}}{2} + \frac{π}{4} – \frac{sin(-\frac{π}{2})}{2})\)
\(= 2π + 4\)
Parabol \(y = \frac{x^2}{2}\) chia hình tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính \(2\sqrt{2}\) thanh hai phần. Tìm tỉ số diện tích của chúng.
Từ hình vẽ ta có:
\(S_1 = 2 \int_0^2[ \sqrt{8 – x^2} – \frac{x^2}{2}]dx\)
\(= 2 \int_0^2 \sqrt{8 – x^2} – \int_0^2x^2dx\)
\(= 2 \int_0^2 \sqrt{8 – x^2}dx – \frac{x^3}{3}\Bigg|^2_0\)
\(= 2 \int_0^2 \sqrt{8 – x^2}dx – \frac{8}{3}\)
Đặt \(x = 2\sqrt{2}sint ⇒ dx = 2\sqrt{2}costdt\)
Khi x = 0 thì t = 0; khi x = 2 thì \(t = \frac{π}{4}\)
\(⇒ 2\int_0^2\sqrt{8 – x^2}dx = 4\sqrt{2} \int_0^{\frac{π}{4}}\sqrt{8 – 8sin^2t}.cost dt\)
\(= 16 \int_0^{\frac{π}{4}}cos^2t dt = 8 \int_0^{\frac{π}{4}}(1 + cos2t)dt = 2π + 4\)
\(⇒ S_1 = 2π + 4 – \frac{8}{3} = \frac{6π + 4}{3}\)
Gọi S là diện tích hình tròn tâm O bán kính \(R = 2\sqrt{2}\) ta có \(S = 8π\)
Từ đó \(⇒ S_2 = S – S_1 = 8π – \frac{6π + 4}{3} = \frac{18π – 4}{3}\)
Vậy \(\frac{S_2}{S_1} = \frac{18π – 4}{6π + 4} = \frac{9π – 2}{3π + 2}\)
Parabol \(y = \frac{x^2}{2}\) chia hình tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính \(2\sqrt{2}\) thanh hai phần. Tìm tỉ số diện tích của chúng.
Phương trình đường tròn:
\(x^2 + y^2 = (2\sqrt{2})^2 ⇔ y = ±\sqrt{8 – x^2}\)
Phía trên trục hoành, đường tròn có phương trình
\(y = \sqrt{8 – x^2}\)
Do tính đối xứng nên diện tích giới hạn bởi
\(y = \frac{x^2}{2}\) và \(y = \sqrt{8 – x^2}\) bằng hai lần diện tích giới hạn bởi các đường đó và trục tung.
Hoành độ giao điểm của hai đường là:
\(\frac{x^2}{2} = \sqrt{8 – x^2} ⇔ x^4 + 4x^2 – 32 = 0 ⇔ x = ±2\)
\(S = 2\int_{0}^{2}(\sqrt{8 – x^2} – \frac{x^2}{2})dx = 2\int_{0}^{2}\sqrt{8 – x^2}dx – \frac{x^3}{3}|_{0}^{2}\)
Đặt \(x = 2\sqrt{2}sint\), ta có:
\(2\int_{0}^{2}\sqrt{9 – x^2}dx = 16\int_{0}^{\frac{π}{4}}cos^2tdt\)
\(= 8\int_{0}^{\frac{π}{4}}(1 + cos2t)dt = [8t + 4sin2t]|_{0}^{\frac{π}{4}} = 2π + 4\)
Diện tích hình giữa hai đường cong là:
\(S = 2π + 4 – \frac{8}{3} = 2π + \frac{4}{3}\)
Diện tích phần còn lại của hình tròn là:
\(S_1 = π(2\sqrt{2})^2 – (2π + \frac{4}{3}) = 6π – \frac{4}{3}\)
Tỉ số diện tích hai phần là:
\([2π + \frac{4}{3}]:[6π – \frac{4}{3}] = \frac{3π + 2}{9π – 2}\)
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 3 Trang 121 SGK Giải Tích Lớp 12 Của Bài 3: Ứng Dụng Của Tích Phân Trong Hình Học Thuộc Chương III: Nguyên Hàm – Tích Phân & Ứng Dụng Môn Giải Tích Lớp 12. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Giải Tích Lớp 12.
Trả lời